人教A版 (2019)選擇性必修第三冊7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征一課一練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（精練）【題組一分布列均值與方差】1．（2020·吉林長春市實驗中學(xué)）若隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ124P0.40.30.3那么E(5ξ+4)等于（）A．15 B．11 C．2.2 D．2.3【答案】A【解析】由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.故選：A.2．（2020·全國高二單元測試）設(shè)ξ的分布列為ξ1234P又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故選：D.3．（2020·全國高二課時練習(xí)）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：01則當(dāng)在內(nèi)增大時（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【解析】由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時，先減小后增大.故選：D.4．（2020·江蘇省前黃高級中學(xué)高二期中）甲、乙兩個運動員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下表．表中射擊比較穩(wěn)定的運動員是(　　)環(huán)數(shù)k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A．甲 B．乙C．一樣 D．無法比較【答案】B【解析】E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，所以乙穩(wěn)定．5．（多選）（2020·全國高二單元測試）已知X的分布列為X－101Pa則下列說法正確的有（）A．P(X＝0)＝ B．E(X)＝－C．D(X)＝ D．P(X＞－1)＝【答案】ABD【解析】由分布列的性質(zhì)可知＝1，即a＝.∴P(X＝0)＝，故A正確；E(X)＝，故B正確；D(X)＝，故C錯誤；P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正確．故選：ABD.6．（多選）（2020·全國高二單元測試）已知 0＜a＜，隨機(jī)變量ξ的分布列如下．ξ－101P－aa當(dāng) a 增大時，（）A．E(ξ)增大 B．E(ξ)減小 C．D(ξ)減小 D．D(ξ)增大【答案】AD【解析】0＜a＜，由隨機(jī)變量ξ的分布列，得：E(ξ)＝a－，∴當(dāng)a 增大時，E(ξ)增大；D(ξ)＝×＋×＋×a＝－a2＋a＋＝－＋，∵0<a<，∴當(dāng)a增大時，D(ξ)增大．故選：AD.7．（多選）（2020·山東濟(jì)寧市·高二期末）已知隨機(jī)變量的分布列如下，且，則下列說法正確的是（）123A．， B．，C． D．【答案】BC【解析】依題意，所以，結(jié)合，解得，所以B選項正確.，所以C選項正確.故選：BC8．（2020·全國高二課時練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表；且，則________，_____________.02【答案】 4 【解析】因為，所以.因為，所以，..故.故答案為：，49．（2021·北京房山區(qū)·高二期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：則____；隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望____.【答案】【解析】因為概率之和等于即，解得：，所以，故答案為：；.10．（2020·甘肅白銀市）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，為常數(shù)，則________．【答案】3【解析】因為，所以，所以，故．故答案為：311．（2020·四川樂山市）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且，則________.01【答案】3【解析】因為，所以故答案為：312．（2020·安徽省六安中學(xué)高二期末（理））已知的分布列01且，，則______.【答案】4【解析】,且，，即，解得，故答案為：413．（2021·湖南衡陽市八中高二期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：013若隨機(jī)變量Y滿足，則Y的方差___________.【答案】9【解析】由分布列的性質(zhì)可知，，所以，所以數(shù)學(xué)期望，方差，因為，所以，故答案為：9．【題組二實際應(yīng)用中的分布列與均值】1．（2021·浙江金華市·高三期末）一個盒子里有2個黑球和3個白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)每次取出1個球，每個球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某種顏色的球全部取出．設(shè)取出黑球的個數(shù)，則__________，__________．【答案】【解析】，表示取球3次，3次取白球，則，表示取球4次，3次取白球，前3次中有1次取黑球，則，，，故.故答案為：，.2．（2021·江蘇南通市·高三期末）“雙十一”是指每年的11月11日，以一些電子商務(wù)為代表，在全國范圍內(nèi)興起的大型購物促銷狂歡日.某商家在去年的“雙十一”中開展促銷活動：凡購物滿5888元的顧客會隨機(jī)獲得A，B，C三種贈品中的一件，現(xiàn)恰有3名顧客的購物金額滿5888元.設(shè)隨機(jī)變量X表示獲得贈品完全相同的顧客人數(shù)，則_________________，____________.【答案】【解析】故答案為：；.3．（2020·全國高二課時練習(xí)）一個袋子內(nèi)裝有若干個黑球、3個白球、2個紅球（所有的球除顏色外其他均相同），從中一次性任取2個球，每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，用隨機(jī)變量表示取2個球的總得分，已知得0分的概率為．（1）求袋子內(nèi)黑球的個數(shù)；（2）求的分布列與均值．【答案】（1）有4個黑球；（2）分布列見解析，.【解析】（1）設(shè)袋子內(nèi)黑球的個數(shù)為，由條件知，當(dāng)取得2個黑球時得0分，概率為，化簡得，解得或（舍去），即袋子內(nèi)有4個黑球．（2）的所有可能取值為0,1,2,3,4，，，，，，的分布列為01234．4．（2019·全國高二課時練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立.（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）用表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲勝”.則，..（2）的可能取值為.，，.故的分布列為2345 所以. 5．（2021·海林市）某產(chǎn)品有4件正品和2件次品混在了一起,現(xiàn)要把這2件次品找出來,為此每次隨機(jī)抽取1件進(jìn)行測試,測試后不放回,直至次品全部被找出為止.(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)設(shè)所要測試的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）見解析【解析】(1)設(shè)“第1次和第2次都抽到次品”為事件A,則P(A)==.(2)X的所有可能取值為2,3,4,5.P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)=+=,P(X=5)=+=.X的分布列為X2345P因此,E(X)=2×+3×+4×+5×=.【題組三均值方差做決策】1．（2019·全國高二課時練習(xí)）設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命表1X(單位：小時)和Y的分布列分別如表1和表2所示：X9001 0001 100P0.10.80.1 Y9501 0001 050P0.30.40.3試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？【答案】乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好.【解析】由期望的定義，得E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命的期望值相等，需進(jìn)一步考查哪家工廠燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定，即比較其方差．由方差的定義，得D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.因為D(X)＞D(Y)，所以乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量比甲廠穩(wěn)定，即乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好．2．（2020·全國高二課時練習(xí)）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【答案】（1）分布列見解析；（2）300．【解析】（1）由題意知，所有的可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知，，．因此的分布列為2003005000.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當(dāng)時，若最高氣溫不低于25，則；若最高氣溫位于區(qū)間，則；若最高氣溫低于20，則因此當(dāng)時，若最高氣溫不低于20，則，若最高氣溫低于20，則，因此所以時，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元．3．（2020·全國高二課時練習(xí)）某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺數(shù)5102015以這50臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）選擇延保方案二較合算【解析】（Ⅰ）所有可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，∴的分布列為 0123456 （Ⅱ）選擇延保一，所需費用元的分布列為： 70009000110001300015000 （元）.選擇延保二，所需費用元的分布列為： 100001100012000 （元）.∵，∴該醫(yī)院選擇延保方案二較合算.4．（2019·全國高二課時練習(xí)）某高校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的實驗考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作.規(guī)定:至少正確完成其中2題的便可提交通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成,2題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,并計算均值;(2)試從兩位考生正確完成題數(shù)的均值及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力.【答案】（1）；（2）可以判斷甲的實驗操作能力較強(qiáng)..【解析】(1)設(shè)考生甲、乙正確完成實驗操作的題數(shù)分別為ξ,η,則ξ取值分別為1,2,3;η取值分別為0,1,2,3.P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,∴考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為ξ123P Eξ=1+2+3=2.∵P(η=0)=,同理P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,∴考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為η0123PEη=0+1+2+3=2.(2)∵P(ξ≥2)==0.8,P(η≥2)=0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2).從做對題數(shù)的均值考察,兩人水平相當(dāng);從至少完成2題的概率考察,甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的實驗操作能力較強(qiáng).5．（2020·遼寧本溪市·高二月考）為倡導(dǎo)綠色出行，某市推出“新能源分時租賃汽車”業(yè)務(wù).其中一款新能源分時租賃汽車每次租車收費標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/千米；②行駛時間不超過40分鐘時，按0.12元/分計費；超過40分鐘時，超出部分按0.20元/分計費.已知王先生家離上班地點15千米，每天租用該款汽車上?下班各一次.由于堵車?紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間是變量(單位：分).現(xiàn)統(tǒng)計其50次路上開車花費時間，在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：時間分頻數(shù)2182010將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分.（1）寫出王先生一次租車費用(單位：元)與用車時間(單位：分)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若王先生的公司每月發(fā)放1000元的車補，每月按22天計算，請估計：①王先生租用一次新能源分時租賃汽車上下班的平均用車時間(同一時段，用該區(qū)間的中點值做代表).②王先生每月的車補能否足夠上下班租用新能源分時租賃汽車，并說明理由.【答案】（1）；（2）①(分)；②王先生每月的車補足夠上?下班租用新能源分時租賃汽車，理由見解析.【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以；（2）①王先生租用一次新能源分時租賃汽車上下班，平均用時(分)，②法一：每次上下班的平均租車費用約為元，則每月均用費為：(元)(元)，由此估計王先生每月的車補足夠上?下班租用新能源分時租賃汽車；法二：每次上下班的平均租車費用約為則每月均用費為：(元)元，由此估計王先生每月的車補足夠上?下班租用新能源分時租賃汽車.

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