人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征 同步訓(xùn)練（原卷版）     考法一 分布列均值與方差【例1-1】（2020·廣東高二期末）已知隨機變量的分布列是 則（    ）A． B． C． D． 【例1-2】．（2020·湖南長沙市·長郡中學(xué)高二月考）隨機變量X的分布列如表所示，若，則（    ）X01Pab A．9 B．7 C．5 D．3  【一隅三反】1．（2021·江西高二期末（理））已知隨機變量的分布列為：設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（    ）-101 A． B． C． D． 2．（2020·防城港市防城中學(xué)高二期中（理））已知X的分布列為：X－101Pa設(shè)，則Y的數(shù)學(xué)期望的值是（    ）A． B． C．1 D． 3．（多選）（2020·山東聊城市·高二期末）若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D． 4．（多選）（2020·江蘇揚州市·高二期末）已知隨機變量的分布列是－101隨機變量的分布列是123則當(dāng)在內(nèi)增大時，下列選項中正確的是（    ）A． B．C．增大 D．先增大后減小 考法二 實際應(yīng)用中的分布列與均值【例2】（2020·廣東佛山市·佛山一中高二期中）年初，習(xí)近平在《告臺灣同胞書》發(fā)表周年紀(jì)念會上的講話中說道：“我們要積極推進兩岸經(jīng)濟合作制度化打造兩岸共同市場，為發(fā)展增動力，為合作添活力，壯大中華民族經(jīng)濟兩岸要應(yīng)通盡通，提升經(jīng)貿(mào)合作暢通、基礎(chǔ)設(shè)施聯(lián)通、能源資源互通、行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)共通，可以率先實現(xiàn)金門、馬祖同福建沿海地區(qū)通水、通電、通氣、通橋.要推動兩岸文化教育、醫(yī)療衛(wèi)生合作，社會保障和公共資源共享，支持兩岸鄰近或條件相當(dāng)?shù)貐^(qū)基本公共服務(wù)均等化、普惠化、便捷化”某外貿(mào)企業(yè)積極響應(yīng)習(xí)主席的號召，在春節(jié)前夕特地從臺灣進口優(yōu)質(zhì)大米向國內(nèi)家大型農(nóng)貿(mào)市場提供貨源，據(jù)統(tǒng)計，每家大型農(nóng)貿(mào)市場的年平均銷售量單位：噸，以、、、、、、分組的頻率分布直方圖如圖.（1）求直方圖中的值；（2）在年平均銷售量為、、、的四組大型農(nóng)貿(mào)市場中，用分層抽樣的方法抽取家大型農(nóng)貿(mào)市場，求年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取多少家？（3）在（2）的條件下，再從、、這三組中抽取的農(nóng)貿(mào)市場中隨機抽取家參加國臺辦的宣傳交流活動，記恰有家在組，求隨機變量的分布列與期望和方差.       【一隅三反】1．（2020·山西朔州市·應(yīng)縣一中）為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.        2．（2020·青銅峽市高級中學(xué)）某中學(xué)利用周末組織教職員工進行了一次秋季登山健身的活動，有個人參加．現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為等七組.其頻率分布直方圖如圖所示，已知這組的參加者是6人．（I）根據(jù)此頻率分布直方圖求；（II）組織者從這組的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為，求的分布列、均值及方差.（Ⅲ）已知和這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師．現(xiàn)從這兩個組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率             考法三 均值方差做決策【例3】．（2020·全國高二單元測試）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η的分布列為：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）計算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．                  【一隅三反】1．（2020·陜西西安市·長安一中）某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151320以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由.                2．（2021·黑龍江鶴崗市·鶴崗一中）甲?乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：（1）記乙公司送餐員日工資為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王打算到甲?乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由.               人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征 同步訓(xùn)練（解析版）     考法一 分布列均值與方差【例1-1】（2020·廣東高二期末）已知隨機變量的分布列是 則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【例1-2】．（2020·湖南長沙市·長郡中學(xué)高二月考）隨機變量X的分布列如表所示，若，則（    ）X01Pab  A．9 B．7 C．5 D．3【答案】C【解析】，由隨機變量的分布列得：，解得，，．．故選：．【一隅三反】1．（2021·江西高二期末（理））已知隨機變量的分布列為：設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（    ）-101 A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以隨機變量的期望為，又由，所以隨機變量的期望為 故選：C.2．（2020·防城港市防城中學(xué)高二期中（理））已知X的分布列為：X－101Pa設(shè)，則Y的數(shù)學(xué)期望的值是（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以隨機變量的期望為，又由，所以隨機變量的期望為 故選：B.3．（多選）（2020·山東聊城市·高二期末）若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因為隨機變量服從兩點分布，且，所以，，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確.故選：ABC4．（多選）（2020·江蘇揚州市·高二期末）已知隨機變量的分布列是－101隨機變量的分布列是123則當(dāng)在內(nèi)增大時，下列選項中正確的是（    ）A． B．C．增大 D．先增大后減小【答案】BC【解析】對于，，，故錯誤；對于，，，故正確；對于，，當(dāng)在內(nèi)增大時，增大，故正確；對于，，，當(dāng)在內(nèi)增大時，單調(diào)遞增，故錯誤．故選：．考法二 實際應(yīng)用中的分布列與均值【例2】（2020·廣東佛山市·佛山一中高二期中）年初，習(xí)近平在《告臺灣同胞書》發(fā)表周年紀(jì)念會上的講話中說道：“我們要積極推進兩岸經(jīng)濟合作制度化打造兩岸共同市場，為發(fā)展增動力，為合作添活力，壯大中華民族經(jīng)濟兩岸要應(yīng)通盡通，提升經(jīng)貿(mào)合作暢通、基礎(chǔ)設(shè)施聯(lián)通、能源資源互通、行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)共通，可以率先實現(xiàn)金門、馬祖同福建沿海地區(qū)通水、通電、通氣、通橋.要推動兩岸文化教育、醫(yī)療衛(wèi)生合作，社會保障和公共資源共享，支持兩岸鄰近或條件相當(dāng)?shù)貐^(qū)基本公共服務(wù)均等化、普惠化、便捷化”某外貿(mào)企業(yè)積極響應(yīng)習(xí)主席的號召，在春節(jié)前夕特地從臺灣進口優(yōu)質(zhì)大米向國內(nèi)家大型農(nóng)貿(mào)市場提供貨源，據(jù)統(tǒng)計，每家大型農(nóng)貿(mào)市場的年平均銷售量單位：噸，以、、、、、、分組的頻率分布直方圖如圖.（1）求直方圖中的值；（2）在年平均銷售量為、、、的四組大型農(nóng)貿(mào)市場中，用分層抽樣的方法抽取家大型農(nóng)貿(mào)市場，求年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取多少家？（3）在（2）的條件下，再從、、這三組中抽取的農(nóng)貿(mào)市場中隨機抽取家參加國臺辦的宣傳交流活動，記恰有家在組，求隨機變量的分布列與期望和方差.【答案】（1）；（2）年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取、、家；（3）分布列見解析，，.【解析】（1）由頻率和為，即，解得；（2）年平均銷售量在的農(nóng)貿(mào)市場有（家），同理可求年平均銷售量、、的農(nóng)貿(mào)市場有、、家，所以抽取比例為， 從年平均銷售量在的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽取（家），從年平均銷售量在的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽取（家）從年平均銷售量在的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽取（家），即年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取、、家； （3）由（2）知，從、、的大型農(nóng)貿(mào)市場中各抽取家、家、家，所以隨機變量的可能取值分別為、、、，則，，，， 的分布列如下表所示：數(shù)學(xué)期望為， 方差為.【一隅三反】1．（2020·山西朔州市·應(yīng)縣一中）為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.【答案】（1）；（2）分布列見解析，，.【解析】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為、、元，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為.則兩人所付費用相同的概率為；（2）設(shè)甲、乙所付費用之和為，可能取值為、、、、，則，，，，.所以，隨機變量的分布列為..2．（2020·青銅峽市高級中學(xué)）某中學(xué)利用周末組織教職員工進行了一次秋季登山健身的活動，有個人參加．現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為等七組.其頻率分布直方圖如圖所示，已知這組的參加者是6人．（I）根據(jù)此頻率分布直方圖求；（II）組織者從這組的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為，求的分布列、均值及方差.（Ⅲ）已知和這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師．現(xiàn)從這兩個組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率【答案】（I）40（II）見解析（Ⅲ）【解析】（I）這組頻率為，所以（II）這組的參加者人數(shù)為，，,,（Ⅲ）這組的參加者人數(shù)為這組的參加者人數(shù)為恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率為 考法三 均值方差做決策【例3】．（2020·全國高二單元測試）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η的分布列為：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）計算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．【答案】（1）a＝0.3；b＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢．【解析】(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)＞E(η)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢．【一隅三反】1．（2020·陜西西安市·長安一中）某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151320以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由.【答案】（1）；（2）①分布列詳見解析，，；②都有道理，理由詳見解析.【解析】（1）當(dāng)日需求量時，利潤.當(dāng)日需求量時，利潤.所以關(guān)于的函數(shù)解析式為. （2）①X可能的取值為60，70，80，并且，，.X的分布列為6070800.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為.X的方差為. ②答案一：花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤（單位：元），那么Y的分布列為556575850.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為.Y的方差為由以上的計算結(jié)果可以看出，，即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較小.另外，雖然，但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花. 答案二：花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利澗（單位：元），那么Y的分布列為556575850.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為.由以上的計算結(jié)果可以看出，，即購進17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進16枝時的平均利潤.故花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花.2．（2021·黑龍江鶴崗市·鶴崗一中）甲?乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：（1）記乙公司送餐員日工資為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王打算到甲?乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由.【答案】（1）詳見解析；（2）推薦小王去乙公司應(yīng)聘，理由見解析.【解析】（1）設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，故的所有可能取值為、、、、，故的分布列為：228234240247254故.（2）甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為：，則甲公司送餐員日平均工資為元，因為乙公司送餐員日平均工資為元，，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘. 

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