?人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)
7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征同步精練（原卷版）
【題組一 分布列均值與方差】
1．（2020·吉林長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）若隨機(jī)變量ξ的分布列：
ξ
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
那么E(5ξ+4)等于（ ）
A．15 B．11 C．2.2 D．2.3

2．（2020·全國(guó)高二單元測(cè)試）設(shè)ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P




又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于（ ）
A． B． C． D．

3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：

0

1




則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（ ）
A．增大 B．減小
C．先增大后減小 D．先減小后增大


4．（2020·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高二期中）甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下表．表中射擊比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是(　　)
環(huán)數(shù)k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A．甲 B．乙
C．一樣 D．無法比較

5．（多選）（2020·全國(guó)高二單元測(cè)試）已知X的分布列為
X
－1
0
1
P

a

則下列說法正確的有（ ）
A．P(X＝0)＝ B．E(X)＝－
C．D(X)＝ D．P(X＞－1)＝

6．（多選）（2020·全國(guó)高二單元測(cè)試）已知 0＜a＜，隨機(jī)變量ξ的分布列如下．
ξ
－1
0
1
P

－a
a
當(dāng) a 增大時(shí)，（ ）
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)減小 C．D(ξ)減小 D．D(ξ)增大

7．（多選）（2020·山東濟(jì)寧市·高二期末）已知隨機(jī)變量的分布列如下，且，則下列說法正確的是（ ）

1
2
3




A．， B．，
C． D．

8．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表；且，則________，_____________.

0
2






9．（2021·北京房山區(qū)·高二期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：








則____；隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望____.

10．（2020·甘肅白銀市）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，為常數(shù)，則________．

11．（2020·四川樂山市）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且，則________.


0
1






12．（2020·安徽省六安中學(xué)高二期末（理））已知的分布列


0
1




且，，則______.

13．（2021·湖南衡陽(yáng)市八中高二期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：

0
1
3




若隨機(jī)變量Y滿足，則Y的方差___________.

【題組二 實(shí)際應(yīng)用中的分布列與均值】
1．（2021·浙江金華市·高三期末）一個(gè)盒子里有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)每次取出1個(gè)球，每個(gè)球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某種顏色的球全部取出．設(shè)取出黑球的個(gè)數(shù)，則__________，__________．

2．（2021·江蘇南通市·高三期末）“雙十一”是指每年的11月11日，以一些電子商務(wù)為代表，在全國(guó)范圍內(nèi)興起的大型購(gòu)物促銷狂歡日.某商家在去年的“雙十一”中開展促銷活動(dòng)：凡購(gòu)物滿5888元的顧客會(huì)隨機(jī)獲得A，B，C三種贈(zèng)品中的一件，現(xiàn)恰有3名顧客的購(gòu)物金額滿5888元.設(shè)隨機(jī)變量X表示獲得贈(zèng)品完全相同的顧客人數(shù)，則_________________，____________.

3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋子內(nèi)裝有若干個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球（所有的球除顏色外其他均相同），從中一次性任取2個(gè)球，每取得一個(gè)黑球得0分，每取得一個(gè)白球得1分，每取得一個(gè)紅球得2分，用隨機(jī)變量表示取2個(gè)球的總得分，已知得0分的概率為．
（1）求袋子內(nèi)黑球的個(gè)數(shù)；
（2）求的分布列與均值．
4．（2019·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；
（2）記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.




5．（2021·海林市）某產(chǎn)品有4件正品和2件次品混在了一起,現(xiàn)要把這2件次品找出來,為此每次隨機(jī)抽取1件進(jìn)行測(cè)試,測(cè)試后不放回,直至次品全部被找出為止.
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;
(2)設(shè)所要測(cè)試的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.



【題組三 均值方差做決策】
1．（2019·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命表1X(單位：小時(shí))和Y的分布列分別如表1和表2所示：
X
900
1 000
1 100
P
0.1
0.8
0.1

Y
950
1 000
1 050
P
0.3
0.4
0.3
試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？



2．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
最高氣溫
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；
（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量（單位：瓶）為多少時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？



3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買2臺(tái)這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：
維修次數(shù)
0
1
2
3
臺(tái)數(shù)
5
10
20
15
以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？



4．（2019·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題,按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作.規(guī)定:至少正確完成其中2題的便可提交通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成,2題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.
(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,并計(jì)算均值;
(2)試從兩位考生正確完成題數(shù)的均值及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力.




5．（2020·遼寧本溪市·高二月考）為倡導(dǎo)綠色出行，某市推出“新能源分時(shí)租賃汽車”業(yè)務(wù).其中一款新能源分時(shí)租賃汽車每次租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/千米；②行駛時(shí)間不超過40分鐘時(shí)，按0.12元/分計(jì)費(fèi)；超過40分鐘時(shí)，超出部分按0.20元/分計(jì)費(fèi).已知王先生家離上班地點(diǎn)15千米，每天租用該款汽車上?下班各一次.由于堵車?紅綠燈等因素，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間是變量(單位：分).現(xiàn)統(tǒng)計(jì)其50次路上開車花費(fèi)時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：
時(shí)間分




頻數(shù)
2
18
20
10
將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間視為用車時(shí)間，范圍為分.
（1）寫出王先生一次租車費(fèi)用(單位：元)與用車時(shí)間(單位：分)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若王先生的公司每月發(fā)放1000元的車補(bǔ)，每月按22天計(jì)算，請(qǐng)估計(jì)：
①王先生租用一次新能源分時(shí)租賃汽車上下班的平均用車時(shí)間(同一時(shí)段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值做代表).
②王先生每月的車補(bǔ)能否足夠上下班租用新能源分時(shí)租賃汽車，并說明理由.






人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)
7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征同步精練（解析版）
【題組一 分布列均值與方差】
1．（2020·吉林長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）若隨機(jī)變量ξ的分布列：
ξ
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
那么E(5ξ+4)等于（ ）
A．15 B．11 C．2.2 D．2.3
【答案】A
【解析】由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，
∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.故選：A.
2．（2020·全國(guó)高二單元測(cè)試）設(shè)ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P




又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故選：D.
3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：

0

1




則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（ ）
A．增大 B．減小
C．先增大后減小 D．先減小后增大
【答案】D
【解析】由分布列得，
則，
則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大.故選：D.
4．（2020·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高二期中）甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下表．表中射擊比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是(　　)
環(huán)數(shù)k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A．甲 B．乙
C．一樣 D．無法比較
【答案】B
【解析】E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56

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