【題型1二次函數(shù)中直角三角形存在性問(wèn)題】
【例1】（2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD上x(chóng)軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．若PE＝2ED，求△PBC的面積；
（3）拋物線上存在一點(diǎn)P，使△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式1-1】（2021春?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，點(diǎn)P為第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求a、b、c的值；
（2）連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1-2】（2021?長(zhǎng)沙模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B（3，0）．C（0，3），點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)P為線段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，若OD＝m．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)△PCD的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在MB上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為直角三角形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1-3】（2021?長(zhǎng)沙模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx過(guò)A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型2二次函數(shù)中等腰三角形存在性問(wèn)題】
【例2】（2020秋?曾都區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸左側(cè)且位于x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段BD（點(diǎn)D是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)D是否在拋物線上；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交直線BD于點(diǎn)M，試探究是否存在點(diǎn)P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【變式2-1】（2020秋?云南期末）如圖，直線y=-12x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C和點(diǎn)A（﹣1，0）．
（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求該二次函數(shù)的解析式．
（3）若拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式2-2】（2021?南充）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=52．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式2-3】（2021?建華區(qū)二模）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)H，則S△BCH＝ ；
（3）若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線ED平行y軸交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求ME長(zhǎng)的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下：當(dāng)ME取得最大值時(shí)，在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)M、點(diǎn)B、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型3二次函數(shù)中平行四邊形存在性問(wèn)題】
【例3】（2020秋?元陽(yáng)縣期末）如圖，直線y=-12x+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（1，0），連接BC．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式．
（2）M為x軸的下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求△ABM的面積的最大值．
（3）P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式3-1】（2020秋?泰山區(qū)期末）如圖，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C（2，6），如圖．
（1）求直線AB和拋物線的表達(dá)式；
（2）在y軸上找一點(diǎn)Q，使得△AMQ的周長(zhǎng)最小，在備用圖中畫出圖形并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)且AC為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3-2】（2021春?雨花區(qū)期末）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著射線BC運(yùn)動(dòng)，速度每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作直線PM∥y軸，交拋物線于點(diǎn)M．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②若點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，問(wèn)：是否存在t使點(diǎn)B，C，M，N構(gòu)成平行四邊形？若存在，求出t，v的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【變式3-3】（2021?北碚區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣6與x軸交于A，C（﹣6，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C右側(cè)），交y軸于點(diǎn)B，連接BC，且AC＝4．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若P是BC上方拋物線上不同于點(diǎn)A的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，PC，求當(dāng)S△PBC-12S△PAC有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最大值．
（3）如圖2，將原拋物線向右平移，使得點(diǎn)A剛好落在原點(diǎn)O，M是平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)A，M，B，Q組成的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【題型4二次函數(shù)中菱形存在性問(wèn)題】
【例4】（2020秋?巴南區(qū)期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求b，c的值；
（2）如圖1，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m．當(dāng)m為何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值．
（3）如圖2，將該拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為直線BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N，使以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式4-1】（2021?湘潭）如圖，一次函數(shù)y=33x-3圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，二次函數(shù)y=33x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式4-2】（2021春?無(wú)棣縣月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POP'C．是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．
【變式4-3】（2020秋?南岸區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（4，0）和B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)y＝x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）將點(diǎn)C向右平移n個(gè)單位得到點(diǎn)D，點(diǎn)D在該二次函數(shù)圖象上．點(diǎn)P是直線BD下方該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，求△PBD面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）中，當(dāng)△PBD面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)E是過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸直線上的一點(diǎn)．在該直角坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，D，E，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型5二次函數(shù)中矩形存在性問(wèn)題】
【例5】（2021春?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖1，若二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．
（1）求三角形ABC的面積；
（2）若點(diǎn)P是拋物線在一象限內(nèi)BC上方一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，是否存在點(diǎn)P，使四邊形ABPC的面積為18，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)K，使以點(diǎn)B、C、Q、K為頂點(diǎn)，BC為邊的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式5-1】（2021?齊齊哈爾）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是 22 ；
（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；
（4）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【變式5-2】（2021春?杏花嶺區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△BCP的面積最大，求△BCP的最大面積及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【變式5-3】（2021?北碚區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），直線BC的解析式為y=12x﹣4．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A），P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR．求△PQR面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C′，將拋物線沿射線C′A的方向平移25個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線y′，新拋物線y′與原拋物線交于點(diǎn)M，原拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)K，使得以D，M，N，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型6二次函數(shù)中正方形存在性問(wèn)題】
【例6】（2021?渝中區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其中A（﹣2，0），并且拋物線過(guò)點(diǎn)D（4，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P為直線CD上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)E，連接CP，PD，DE，求四邊形CPDE面積的最值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線沿射線CB方向平移得新拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新拋物線上存在點(diǎn)M，在平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若在，直接寫出此時(shí)新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式6-1】（2020秋?高明區(qū)期末）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)Q在該拋物線的對(duì)稱軸上，若△ACQ是以AC為腰的等腰三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若P為BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，GM⊥x軸于點(diǎn)M，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、G、N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【變式6-2】（2021?合川區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系．xOy中，直線y＝x﹣4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（﹣2，0）．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)F是直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B，求出四邊形FAOB面積最大值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（3）如圖2，在（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)Q為平面內(nèi)y軸右側(cè)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q及平面內(nèi)任意一點(diǎn)M使得以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【變式6-3】（2021?海南模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）直線y=34x+94與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與直線BC交于點(diǎn)E．若點(diǎn)M（m，0）是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，交直線AD于點(diǎn)G，交直線BC于點(diǎn)H．
①當(dāng)SEOG=12S△AOE時(shí)，求m的值；
②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使四邊形EFHP為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

22.1.1 二次函數(shù)

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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