教學(xué)內(nèi)容：
五年級(jí)上冊(cè)第108～109頁(yè)探索規(guī)律“釘子板上的多邊形”。
教學(xué)目標(biāo)：
1. 使學(xué)生在操作、觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證等活動(dòng)中，在發(fā)現(xiàn)在釘子板上圍出的多邊形與它的邊所經(jīng)過(guò)的釘子數(shù)，以及多邊形內(nèi)部釘子數(shù)的關(guān)系，會(huì)用含有字母的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。
2. 使學(xué)生在探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和表達(dá)規(guī)律的過(guò)程中，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)抽象的意義，培養(yǎng)比較、分析和簡(jiǎn)單推理的能力，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意識(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
3.使學(xué)生獲得探索規(guī)律成功的體驗(yàn)，梳理學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心；感受數(shù)學(xué)規(guī)律的奇妙，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。
學(xué)情分析：
本節(jié)內(nèi)容是五年級(jí)上冊(cè)《用字母表示數(shù)》這一單元之后安排的一次探索規(guī)律的專題活動(dòng)，在這之前，學(xué)生已經(jīng)具備了計(jì)算多邊形面積、用字母表示數(shù)等相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)與能力，因此，本節(jié)內(nèi)容對(duì)五年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)“跳一跳、夠得著”，具有一定的挑戰(zhàn)性，但用含有字母的式子表示多邊形面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系還是有相當(dāng)難度的，因此，教學(xué)時(shí)我們要充分引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、觀察比較和分析思考，探索并發(fā)現(xiàn)在釘子板上圍出的多邊形面積的一些有趣規(guī)律，鼓勵(lì)他們用含有字母的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，從而幫助他們進(jìn)一步感受字母表示數(shù)的意義和價(jià)值，提高對(duì)圖形與幾何問(wèn)題的學(xué)習(xí)興趣。
重點(diǎn)難點(diǎn)：
重點(diǎn)：探索釘子板上多邊形面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系。
難點(diǎn)：綜合、歸納多邊形面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系。
教學(xué)過(guò)程：
一、導(dǎo)入——揭示課題，明確探索的問(wèn)題
1.談話：
這是一塊釘子板，我們可以用橡皮筋在釘子板上圍多邊形。（課件出示：圍了多邊形的釘子板）
2.下面就來(lái)考考你的眼力和記憶力。
（課件逐個(gè)出示多邊形，每個(gè)圖形由小放大）
問(wèn)：你看到了什么？幾號(hào)圖形的面積最大？
幾號(hào)圖形邊上經(jīng)過(guò)的釘子數(shù)最多？（指名回答）
師：到底是幾號(hào)圖形邊上經(jīng)過(guò)的釘子數(shù)最多，讓我們?cè)賮?lái)仔細(xì)觀察。
（課件出示：5個(gè)圖形同時(shí)出示）
3.揭題：
4號(hào)和5號(hào)圖形邊上經(jīng)過(guò)的釘子數(shù)同樣多，都是8個(gè)，它們邊上經(jīng)過(guò)的釘子數(shù)相同，但面積卻不相等，這是為什么呀？到底多邊形的面積與圖形邊上的釘子數(shù)有沒(méi)有關(guān)系？如果有關(guān)系，又有怎樣的關(guān)系？這節(jié)課我們就來(lái)研究釘子板上的多邊形。（板書(shū)課題：釘子板上的多邊形）
4.指出：為了研究方便，我們用點(diǎn)子圖代替釘子板。這張圖上畫(huà)的這些圖形就相當(dāng)于是橡皮筋在釘子板上圍的多邊形。（課件出示點(diǎn)子圖及八個(gè)多邊形）
二、實(shí)踐——探索多邊形內(nèi)有一枚釘子時(shí)，面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系
1.引導(dǎo)觀察多邊形面積（課件出示八個(gè)多邊形中的前四個(gè)多邊形及表格）
師：它們的面積分別是多少？請(qǐng)說(shuō)清楚圖形的名稱以及你是怎樣求出面積的。
生1：第一個(gè)圖形是三角形，面積是2平方厘米。
師：他是用三角形的面積公式計(jì)算得到的。 （板書(shū)：算）
生2：第二個(gè)圖形是梯形，它的面積是3平方厘米。
生3：第三個(gè)圖形的面積是3.5平方厘米。
師：這是個(gè)組合圖形，面積是多少？有沒(méi)有其他的方法？
生4：還可以數(shù)格子
師：請(qǐng)你數(shù)給大家看，這方法怎么樣？算是可以的，像他這樣數(shù)也是可以的。（板書(shū)：數(shù)）用他的方法我們?cè)贁?shù)一遍。
生5：第四個(gè)圖形是平行四邊形，面積是4平方厘米。
2.引導(dǎo)觀察多邊形邊上的釘子數(shù)
師：下面我們一起來(lái)數(shù)一數(shù)多邊形邊上的釘子數(shù)。
（課件動(dòng)態(tài)數(shù)點(diǎn)，同時(shí)表格出示每個(gè)多邊形邊上的釘子數(shù)據(jù)）
3.引導(dǎo)觀察表格中的數(shù)據(jù)
師：把數(shù)據(jù)整理在表格中，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：多邊形的面積越大，邊上的釘子數(shù)越多
師：他是怎么看的？（豎著看）
生2：多邊形的面積是多邊形邊上釘子數(shù)的2倍。
師：他又是怎么看的？誰(shuí)是誰(shuí)的2倍？誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一遍。反過(guò)來(lái)呢？
4.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、完善認(rèn)知
①發(fā)現(xiàn)：想一想，用什么方法來(lái)表示能更簡(jiǎn)潔呢？我們可以用含有字母的式子來(lái)表示，面積一般用什么字母？（生：S）邊上的釘子數(shù)我們用（N）來(lái)表示，那現(xiàn)在你能說(shuō)說(shuō)S=？（板書(shū)：S= N÷2）
②質(zhì)疑：帶著這樣的發(fā)現(xiàn)，我們來(lái)看八幅圖中的下面四幅，邊上釘子數(shù)多少？面積多少？
（課件出示逐個(gè)數(shù)據(jù)：N=10， N=9， N=9， N=8，
S=6 S=5.5 S=6.5 S=7 ）
師：看看這四幅圖，看看剛才的發(fā)現(xiàn)，怎么了？（指名說(shuō)說(shuō)疑惑）
是啊，這里邊上釘子數(shù)除以2不等于多邊形面積，這是怎么回事呀？讓我們?cè)賮?lái)觀察這八幅圖，你有什么想法？（小組討論，指名交流）
③完善：原來(lái)，多邊形的面積不僅跟邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還與圖形中間的釘子數(shù)有關(guān)呢，所以我們?cè)谔剿骱桶l(fā)現(xiàn)規(guī)律的時(shí)候，還要學(xué)會(huì)從不同的多邊形中找到它們的相同點(diǎn)。（板書(shū)：從不同中找相同）
（指著S= N÷2）看來(lái)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)還得有個(gè)前提，什么前提下，多邊形的面積數(shù)=邊上的釘子數(shù)÷2？如果中間的釘子數(shù)用A來(lái)表示，也就是A=？（板書(shū)：A=1）
④驗(yàn)證：我們開(kāi)始圍的5個(gè)圖形里，有沒(méi)有中間釘子數(shù)是1個(gè)的，咱們數(shù)一下，邊上釘子數(shù)是幾？面積？與我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律相符嗎？
⑤歸納：現(xiàn)在我們來(lái)看完善以后的發(fā)現(xiàn)，用文字語(yǔ)言能表達(dá)嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)看，我們發(fā)現(xiàn)了什么？
三、實(shí)踐——探索多邊形內(nèi)有兩枚釘子時(shí)，面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系
1.提出問(wèn)題：
師：接下來(lái)我們來(lái)看A=2，也就是中間的釘子數(shù)是2的。（課件出示圖形及表格）第一幅圖，邊上釘子數(shù)？，面積？，第二幅圖？（課件出示數(shù)據(jù)）
2.動(dòng)手操作：
師：還有兩組數(shù)據(jù)，老師想請(qǐng)大家自己動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)、找一找。這次畫(huà)的多邊形有什么要求？（中間的釘子數(shù)是2）請(qǐng)同桌兩人合作，在這兩幅圖的右邊分別畫(huà)2個(gè)中間釘子數(shù)是2的多邊形，再數(shù)一數(shù)邊上的釘子數(shù)和面積，并且把它們整理在表格里。
3.組織交流：（指名展示、交流）
4.觀察發(fā)現(xiàn)：（結(jié)合實(shí)物投影上學(xué)生的圖形與表格）
師：還是在表格里面整理數(shù)據(jù)，這次能看出來(lái)它們之間有什么關(guān)系嗎？小組里面先商量商量，你們發(fā)現(xiàn)了什么？
生：S=N÷2+1
師：你能不能結(jié)合例子再講具體點(diǎn)。
5.小結(jié)：剛才的發(fā)現(xiàn)是研究的什么情況？（板書(shū)：A=2）誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)當(dāng)A=2，也就是當(dāng)多邊形中間的釘子數(shù)是2的時(shí)候，有什么發(fā)現(xiàn)？
6.驗(yàn)證：當(dāng)多邊形中間的釘子數(shù)是2時(shí)，多邊形的面積是否都等于邊上釘子數(shù)÷2+1 呢？我們?cè)賮?lái)看看其他同學(xué)畫(huà)的多邊形。（出示其他同學(xué)畫(huà)的多邊形）邊上釘子數(shù)？面積？與規(guī)律相符嗎？
7.小結(jié)：通過(guò)剛才的驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)A=2時(shí)，S=N÷2+1這個(gè)發(fā)現(xiàn)是正確的。
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四、實(shí)踐——探索多邊形內(nèi)有三枚釘子時(shí)，面積與邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系
1.猜想：如果多邊形內(nèi)有3枚釘子，它的面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系會(huì)發(fā)生什么變化？請(qǐng)你猜一猜？有什么辦法可以證明我們的猜想是否正確呢？
2.操作：
師：下面就讓我們畫(huà)一畫(huà)、填一填、想一想，以小組為單位完成這份研究單。（課件出示小組學(xué)習(xí)研究單）怎么研究呢？（結(jié)合學(xué)生回答，課件出示：按照要求畫(huà)出圖形——收集數(shù)據(jù)整理成表——反復(fù)觀察進(jìn)行比較——發(fā)現(xiàn)規(guī)律并且驗(yàn)證）下面，就請(qǐng)大家拿出研究單，每人畫(huà)一個(gè)多邊形，然后在小組里交流，由小組長(zhǎng)負(fù)責(zé)匯總數(shù)據(jù)，最后，再想一想，有什么發(fā)現(xiàn)？
3.交流：
（指名小組匯報(bào)）
師：有不同意見(jiàn)嗎？看來(lái)大家都同意你們的想法，那就請(qǐng)你把發(fā)現(xiàn)寫(xiě)在這兒。（指名在黑板上寫(xiě)出規(guī)律）
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五、實(shí)踐——拓展延伸，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)多邊形面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系
1.猜想：如果接下去研究，當(dāng)A=4,猜猜看，S會(huì)等于？（板書(shū)：S= N÷2+3）A=5呢？……
2.啟發(fā)：我們來(lái)看這些式子，前面都是N÷2，為什么后面加的數(shù)不同呢？那你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)后面加的數(shù)跟中間釘子數(shù)有什么關(guān)系？所以當(dāng)A=1，也就是中間釘子數(shù)是1時(shí)，后面加的應(yīng)該比它少1，那就是加了0，加0我們就不寫(xiě)了。
師：那你能推出A=0， S會(huì)等于什么呢？（板書(shū)：A=0）
生：A=0，S= N÷2-1
師：（課件出示中間釘子數(shù)是0的正方形）我們來(lái)看這個(gè)圖形，中間的釘子數(shù)是0，邊上釘子數(shù)是4，4÷2-1，面積是1嗎？對(duì)嗎？
3.延伸：當(dāng)看了這么多規(guī)律以后，我們發(fā)現(xiàn)多邊形它的面積是多少和邊上的釘子數(shù)有關(guān)系，還和多邊形里面的釘子數(shù)有關(guān)系?，F(xiàn)在你知道為什么④號(hào)和⑤號(hào)圖形邊上經(jīng)過(guò)的釘字?jǐn)?shù)相同，而面積卻不相等了嗎？
師：你能把這些含有字母的式子統(tǒng)一用一個(gè)式子來(lái)表示嗎？
生：S= N÷2+A-1
師：你真了不起，你的發(fā)現(xiàn)就是奧地利數(shù)學(xué)家喬治·皮克發(fā)現(xiàn)的“皮克定理”。如果還想更深入地研究釘子板上多邊形的面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系，老師推薦大家去閱讀一本課外書(shū)，書(shū)名是《格點(diǎn)與面積》，它是我國(guó)數(shù)學(xué)家閔嗣鶴撰寫(xiě)的。
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六、評(píng)價(jià)——回顧探索過(guò)程，交流體會(huì)
提問(wèn)：今天這節(jié)課，我們一起探究了多邊形面積和釘子板上釘子之間的關(guān)系。回顧探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，你有什么體會(huì)呢？
（師結(jié)合學(xué)生的回答相應(yīng)總結(jié)）

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