7.2　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
7.2.2　復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________.
(ac－bd)＋(ad＋bc)i　
對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則
[知識(shí)解讀]　1．對(duì)復(fù)數(shù)乘法的三點(diǎn)說(shuō)明(1)類(lèi)比多項(xiàng)式運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算很類(lèi)似，可仿多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，但結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開(kāi)(i2換成－1).(2)運(yùn)算律：多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)乘法中仍然成立，乘法公式也適用.(3)常用結(jié)論①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.
2．對(duì)復(fù)數(shù)除法的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)實(shí)數(shù)化：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c－di，化簡(jiǎn)后即得結(jié)果，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是把分母實(shí)數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”很類(lèi)似.(2)代數(shù)式：注意最后結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開(kāi).特別提醒：復(fù)數(shù)的除法類(lèi)似于根式的分母有理化.
(3)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(－∞，1)　　B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)　　D．(－1，＋∞)[分析]　利用乘法公式進(jìn)行運(yùn)算.[解析]　(1)由題意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2．故|z2－2z|＝|－2|＝2．故選D．
[歸納提升]　兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法(1)首先按多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)；(2)再將i2換成－1；(3)然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　(1)計(jì)算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)A．2－13i　　B．13＋2iC．13－13i　　D．－13－2i(2)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是(　　)A．i(1＋i)2　　B．i2(1－i)C．(1＋i)2　　D．i(1＋i)
[解析]　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故選D．(2)A項(xiàng)，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是純虛數(shù)；B項(xiàng)，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)；C項(xiàng)，(1＋i)2＝2i,2i是純虛數(shù)；D項(xiàng)，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù).故選C．
[分析]　復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算就是分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行.
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個(gè)根.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測(cè)方程的另一個(gè)根，并給予證明.[分析]　解決實(shí)系數(shù)一元二次方程的基本方法是復(fù)數(shù)相等的充要條件.
(2)由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0．設(shè)另一個(gè)根為x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，∴x2＝－1－i是方程的另一個(gè)根.
[歸納提升]　(1)實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的，即若復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R，b≠0)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復(fù)數(shù)a－bi是該方程的另一根.(2)和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)比，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解決實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，韋達(dá)定理和求根公式仍然適用，但是判別式判斷方程根的功能就發(fā)生改變了.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　(1)方程x2＋6x＋13＝0的一個(gè)根是(　　)A．－3＋2i　　B．3＋2iC．－2＋3i　　D．2＋3i(2)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虛數(shù)單位)是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)根，求p，q的值.
　已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足條件z2－|z|－6＝0，求復(fù)數(shù)z.[錯(cuò)解]　由z2－|z|－6＝0?(|z|－3)(|z|＋2)＝0．因?yàn)閨z|＋2≠0，所以|z|＝3．則在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)均符合要求.[錯(cuò)因分析]　本題將復(fù)數(shù)z的模等同于實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，誤認(rèn)為|z|2＝z2．
[誤區(qū)警示]　設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|(zhì)z|2，二者不可混淆.

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版本： 人教A版 (2019)

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