注意事項：
本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的年增長率，那么經(jīng)過x年(x∈N*)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x
【答案】D
【解析】經(jīng)過1年，y＝a(1＋5%)，經(jīng)過2年，y＝a(1＋5%)2，…，經(jīng)過x年，y＝a(1＋5%)x.
2．據(jù)統(tǒng)計，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時間x(年)近似滿足關(guān)系式：y＝alg3(x＋2)，觀測發(fā)現(xiàn)2018年冬(作為第1年)有越冬白鶴3 000只，估計到2024年冬越冬白鶴有( )
A．4 000只 B．5 000只
C．6 000只D．7 000只
【答案】C
【解析】當x＝1時，由3 000＝alg3(1＋2)得a＝3 000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000.故選C.
3．在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下，當電流通過圓柱形的電線時，其電流強度I與電線半徑r的三次方成正比，若已知電流通過半徑為4毫米的電線時，電流強度為320安，則電流通過半徑為3毫米的電線時，電流強度為( )
A．60安B．240安
C．75安D．135安
【答案】D
【解析】由已知，設(shè)比例常數(shù)為k，則I＝k·r3.
由題意，當r＝4時，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝5，所以I＝5r3.
故當r＝3時，I＝5×33＝135(安)．故選D.
4.(多選)如圖，某池塘里浮萍的面積y(單位：m2)與時間t(單位：月)的關(guān)系為y＝at.關(guān)于下列說法正確的是( )
A．浮萍每月的增長率為1
B．第5個月時，浮萍面積就會超過30 m2
C．浮萍每月增加的面積都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3
【答案】ABD
【解析】圖象過(1,2)點，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t.
∵，∴每月的增長率為1，A正確．
當t＝5時，y＝25＝32＞30，∴B正確．
∵第二個月比第一個月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三個月比第二個月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正確．
∵2＝，3＝，6＝，
∴t1＝lg22，t2＝lg23，t3＝lg26，
∴t1＋t2＝lg22＋lg23＝lg26＝t3，D正確．故選A、B、D.
5．（2020·臨泉縣第二中學高三月考（理））我們處在一個有聲世界里,不同場合,人們對聲音的音量會有不同要求．音量大小的單位是分貝,對于一個強度為的聲波，其音量的大小可由如下公式計算： (其中是人耳能聽到的聲音的最低聲波強度)，設(shè)的聲音強度為，的聲音強度為，則是的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】B
【解析】因為，代入，，
得，兩式相減，得得到，即，故選：B.
6．衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新丸體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)閍.若一個新丸體積變?yōu)閍 ，則需經(jīng)過的天數(shù)為( )
A．125 B．100 C．75 D．50
【答案】C
【解析】由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
設(shè)經(jīng)過t1天后，一個新丸體積變?yōu)閍，
則a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，∴，t1＝75.
7．把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是T1(℃)，空氣的溫度是T0(℃)，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把溫度是90 ℃的物體，放在10 ℃的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50 ℃，那么t的值約等于(參考數(shù)據(jù)：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40
【答案】B
【解析】由題意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
8．某市的房價(均價)經(jīng)過6年時間從1 200元/m2增加到了4 800元/m2，則這6年間平均每年的增長率是________．
【答案】－1
【解析】設(shè)6年間平均年增長率為x，則有1 200(1＋x)6＝4 800，解得 x＝－1.
9．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v m/s和燃料的質(zhì)量M kg，火箭(除燃料外)的質(zhì)量m kg的函數(shù)關(guān)系式是v＝2 000·ln.當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時，火箭的最大速度可達12 km/s.
【答案】e6－1
【解析】當v＝12 000 m/s時，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6，所以＝e6－1.
10．某種細菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?倍，且該種細菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt，其中k為常數(shù)，t表示時間(單位：小時)，y表示繁殖后細菌總個數(shù)，則k＝________，經(jīng)過5小時，1個細菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)開_______．
【答案】2ln 2 1 024
【解析】由題意知，當t＝時，y＝2，即2＝k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
當t＝5時，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即經(jīng)過5小時，1個細菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)? 024.
11．放射性物質(zhì)衰變過程中其剩余質(zhì)量隨時間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化．常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话胨?jīng)歷的時間稱為它的半衰期，記為現(xiàn)測得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨時間t變化的6次數(shù)據(jù)如下：
從以上記錄可知這種元素的半衰期約為________個單位時間，剩余質(zhì)量隨時間變化的衰變公式為A(t)＝________．
【答案】4 320·2－(t≥0)
【解析】從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個單位時間，由初始質(zhì)量為A0＝320，則經(jīng)過時間t的剩余質(zhì)量為A(t)＝A0·＝320·2－(t≥0)．
三、解答題（本大題共4小題，共40分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
12．某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過8萬元時，按銷售利潤的15%進行獎勵；當銷售利潤超過8萬元時，若超過A萬元，則超過部分按lg5(2A＋1)進行獎勵．記獎金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元)．
(1)寫出獎金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式；
(2)如果業(yè)務(wù)員小江獲得3.2萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？
【解析】(1)由題意知當0≤x≤8時，y＝0.15x；
當x>8時，y＝8×0.15＋lg5(2x－15)＝1.2＋lg5(2x－15)，所以
(2)當0≤x≤8時，ymax＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江銷售利潤x＞8.
由題意知1.2＋lg5(2x－15)＝3.2，解得x＝20.
所以小江的銷售利潤是20萬元．
13．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，使森林面積每年比上一年減少p%，10年后森林面積變?yōu)椋阎浇衲隇橹梗置娣e為．
（1）求p%的值；
（2）到今年為止該森林已砍伐了多少年？
【解析】（1）設(shè)砍伐n年后的森林面積為f（n），則f（n）＝a（1﹣P%）n．
由題意可得f（10），即a（1﹣P%）10，
解得：p%＝1．
（2）由（1）可得f（n）＝a?（）n＝a?，
令f（n）可得，，
∴，即n＝5．
故到今年為止，該森林已砍伐5年
14．（2019·四川省綿陽南山中學高一月考）近年來，我國大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來了嚴重影響.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，污染治理刻不容緩.為此，某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以降低對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：mg/L）與過濾時間（單位：h）間的關(guān)系為（，均為非零常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為時的污染物數(shù)量.若經(jīng)過5h過濾后還剩余90%的污染物.
（1）求常數(shù)的值；
（2）試計算污染物減少到40%至少需要多長時間.（精確到1h，參考數(shù)據(jù)：，，，，）
【解析】（1）由已知得，當時，；當時，.
于是有，解得（或）.
（2）由（1）知，當時，有，
解得.
故污染物減少到40%至少需要42h.
15．（2020·湖北荊州中學高一期末）某學習小組在暑期社會實踐活動中，通過對某商品一種小物品的銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該小物品在過去的一個月內(nèi)（以30天計）每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（為正常數(shù)），日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數(shù)據(jù)如下表所示：
已知第10天的日銷售收入為121元.
（1）求的值；
（2）給出以下四種函數(shù)模型：①，②，③，④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)來描述日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式.
（3）求該小物品的日銷售收入（單位：元）的最小值.
【解析】（1）依題意知第10天的日銷售收入為，得；
（2）由表中的數(shù)據(jù)知，當時間變化時，日銷售量有增有減并不單調(diào)，故只能選②，
，
從表中任意取兩組值代入可得，，解得，
；
（3）由（2）知，
所以，
當時，在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，
所以.
當時，為減函數(shù)，
所以.
綜上所述，當時，取得最小值，
t(單位時間)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
/天
10
20
25
30
/件
110
120
125
120

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5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）

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