專題4.5 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（基礎(chǔ)鞏固卷）考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時(shí)150分鐘，試卷緊扣教材，細(xì)分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎(chǔ)，提能力！一．    選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2021秋?河南月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋ā　。?/span>A．（2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，2）【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【解答】解：由題意可知，解得﹣2＜x＜2，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?/span>2，2），故選：B．2．（2021秋?亭湖區(qū)校級月考）設(shè)a＞0，b＞0，化簡的結(jié)果是（　　）A． B． C． D．﹣3a【分析】利用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：abab3a．故選：D．3．（2021秋?10月份月考）方程log2x＝log4（2x+3）的解為（　?。?/span>A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或3【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解方程即可．【解答】解：log2x＝log4（2x+3），即為log2xlog2（2x+3），即log2x2＝log2（2x+3），則，解得x＝3，故選：C．4．（2021秋?洛陽期中）已知a＝log32，b＝log23，c＝20.3，則（　?。?/span>A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜a＜1，∵32，∴log23，又∵1＝20，∴b＞c＞a，故選：A．5．（2021秋?河南月考）設(shè)，且，則m＝（　　）A．6 B． C． D．【分析】推導(dǎo)出a，b＝log3m，從而2，由此能求出m的值．【解答】解：設(shè)，則a，b＝log3m，∵，∴2，∴m2，解得m．故選：D．6．（2021秋?10月份月考）已知a，b，c是不等于1的正實(shí)數(shù)，且ab≠1，若logabc＝logac?logbc，則logac+logbc＝（　　）A．0 B．1 C．﹣1 D．logabc【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式求解．【解答】解：logac+logbc1，故選：B．7．（2021秋?濰坊月考）某投資機(jī)構(gòu)從事一項(xiàng)投資，先投入本金a（a＞0）元，得到的利潤是b（b＞0）元，收益率為（%），假設(shè)在第一次投資的基礎(chǔ)上，此機(jī)構(gòu)每次都定期追加投資x（x＞0）元，得到的利潤也增加了x元，若使得該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，則（　　）A．a≥b B．a≤b C．a＞b D．a＜b【分析】設(shè)此人第n次投資后的總收益為f（n），求出第n+1次投資后的總收益f（n+1），作差，通過該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，即可確定答案．【解答】解：設(shè)此人第n次投資后的總收益為f（n），則（n∈N*），所以第n+1次投資后的總收益為f（n+1）（n∈N*），故f（n+1）﹣f（n），因?yàn)樵擁?xiàng)投資的總收益率是增加的，又a＞0，b＞0，所以a＞b．故選：C．8．（2021秋?順義區(qū)校級月考）為了預(yù)防某種病毒，某商場需要通過噴灑藥物對內(nèi)部空間進(jìn)行全面消毒．出于對顧客身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時(shí)，顧客方可進(jìn)入商場．已知從噴灑藥物開始，商場內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為y（a為常數(shù)），函數(shù)圖象如圖所示．如果商場規(guī)定9：30顧客可以進(jìn)入商場，那么開始噴灑藥物的時(shí)間最遲是（　?。?/span>A．9：00 B．8：40 C．8：30 D．8：00【分析】利用函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的解析式，然后令y≤0.25，求出t的范圍，即可得到答案．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)（10，1），則有，解得a＝1，所以y，令y≤0.25，則0.1t≤0.25或，解得0＜t≤2.5或t≥30，所以如果商場規(guī)定9：30顧客可以進(jìn)入商場，那么開始噴灑藥物的時(shí)間最遲是9：00．故選：A． 二．    多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（2021秋?濱湖區(qū)校級月考）下列各式比較大小，正確的是（　　）A．1.72.5＞1.73 B． C．1.70.3＞0.93.1 D．【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和冪函數(shù)的單調(diào)性求解．【解答】解：對于選項(xiàng)A：∵函數(shù)y＝1.7x在R上單調(diào)遞增，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B：，∵函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，且，∴，故選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D：∵函數(shù)y在R上單調(diào)遞減，且，∴，又∵函數(shù)y在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且，∴，∴，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC．10．（2021秋?凌河區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過點(diǎn)A，則下列函數(shù)圖象也過點(diǎn)A的是（　　）A．y2 B．y＝|x﹣2|+1 C．y＝log2（2x）+1 D．y＝2x﹣1【分析】先求出函數(shù)f（x）恒過定點(diǎn)A，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過點(diǎn)A（1，2），當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝|1﹣2|+1＝2，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝log2（2×1）+1＝2，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2×2﹣1＝3，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．（2021春?浙江期中）已知函數(shù)f（x）＝|lgx|，則（　?。?/span>A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）值域?yàn)?/span>[0，+∞） C．f（x）在[0，+∞）上遞增 D．f（x）有一個(gè)零點(diǎn)【分析】可畫出函數(shù)f（x）的圖象，然后根據(jù)圖象即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤．【解答】解：可畫出f（x）＝|lgx|的圖象如下圖所示：根據(jù)圖象可看出f（x）的值域?yàn)?/span>[0，+∞），f（x）有一個(gè)零點(diǎn)．故選：BD．12．（2021春?亭湖區(qū)校級月考）已知函數(shù)，且關(guān)于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值是（　　）A．﹣1 B．0 C．2 D．3【分析】本題可采用數(shù)形結(jié)合的方法解答，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y1＝f（x），y2＝﹣x+a的圖象，其中a表示直線在y軸的截距，結(jié)合圖形可知當(dāng)a＞1時(shí)，直線y2＝﹣x+a與y1＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn)．即關(guān)于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根【解答】解：關(guān)于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，即函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y＝﹣x+a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y1＝f（x），y2＝﹣x+a的圖象，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)a＞1時(shí)，直線y2＝﹣x+a與y1＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn)．即a∈（1，+∞）．故選：CD． 三．    填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（2021秋?三元區(qū)校級月考）2﹣2×（2）﹣0.5+（0.01）0.5﹣log32?log4　　．【分析】由冪運(yùn)算及對數(shù)運(yùn)算化簡即可．【解答】解：2﹣2×（2）﹣0.5+（0.01）0.5﹣log32?log4log32?log23，故答案為：．14．（2021秋?朝陽區(qū)校級月考）若mln2＝1，則2﹣m＝　　．【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知m＝log2e，代入所求式子即可求出結(jié)果．【解答】解：∵mln2＝1，∴mlog2e，∴2﹣m＝e﹣1，故答案為：．15．（2021秋?浙江月考）某口罩批發(fā)商在疻情期間銷售口罩，口罩規(guī)格為每包100只，每包成本價(jià)10元．經(jīng)過一段時(shí)間，批發(fā)商發(fā)現(xiàn)當(dāng)以每包12元出售，每天銷量800包，若每包口罩的批發(fā)價(jià)每漲1元，銷售量就減少40包．當(dāng)定價(jià)每包 　　元時(shí)，批發(fā)商可獲得利潤最大．【分析】設(shè)每包口罩的批發(fā)價(jià)漲x元，批發(fā)商獲得的利潤為y元，由題意寫出y關(guān)于x的函數(shù)值，再由二次函數(shù)求最值．【解答】解：設(shè)每包口罩的批發(fā)價(jià)漲x元，批發(fā)商獲得的利潤為y元，則y＝（12+x﹣10）（800﹣40x）＝﹣40x2+720x+1600．當(dāng)x＝9時(shí)，y取得最大值．即當(dāng)定價(jià)每包21元時(shí)，批發(fā)商可獲得利潤最大．故答案為：21．16．（2021秋?運(yùn)城月考）若關(guān)于x的方程|x2﹣1|＝a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 　　．【分析】轉(zhuǎn)化為y＝|x2﹣1|的圖象和直線y＝a有2個(gè)交點(diǎn)，借助于圖像求解結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的方程|x2﹣1|＝a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，∴y＝|x2﹣1|的圖象和直線 y＝a有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：故有a＞1或a＝0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：{a|a＞1或a＝0}，故答案為：：{a|a＞1或a＝0}． 四．        解答題（共6小題，滿分70分）17．（2021秋?坊子區(qū)校級月考）計(jì)算：（1）；（2）（log32+log92）?（log43+log83）．【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）原式100；（2）原式．18．（2021?金寨縣校級開學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指數(shù)函數(shù)．（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）判斷F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加證明．【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)的定義知a2+a﹣5＝1且a＞0，可解得a＝2，則f（x）＝2x；（2）可判斷F（x）為奇函數(shù)，利用奇偶性的定義證明即可．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指數(shù)函數(shù)，∴a2+a﹣5＝1且a＞0，解得，a＝2，故f（x）＝2x；（2）F（x）為奇函數(shù)，證明如下：F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝2x﹣2﹣x的定義域?yàn)?/span>R，且對?x∈R，﹣x∈R，F（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣F（x），故F（x）為奇函數(shù)．19．（2021秋?江州區(qū)校級月考）為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計(jì)劃在該村廣場旁一矩形空地進(jìn)行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均擺滿寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為400平方米．（1）若矩形草坪的長比寬至少多9米，求草坪寬的最大值；（2）若草坪四周及中間的花壇寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值．【分析】（1）設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，由題意得到x+9，求出x的取值范圍，即可得到答案；（2）由題意，表示出整個(gè)綠化面積，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，因?yàn)閴K綠草坪的面積均為400平方米，所以，因?yàn)榫匦尾萜旱拈L比寬至少多9米，則x+9，即x2+9x﹣400≤0，解得0＜x≤16，所以草坪寬的最大值為16米；（2）設(shè)整個(gè)綠化面積為S平方米，由題意可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以整個(gè)綠化面積的最小值為平方米．20．（2021?涪城區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)y＝f（x）的定義域；（2）若方程f（x）＝1+logax有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）函數(shù)f（x）有意義，則0，解不等式得到x的范圍，即可得到f（x）的定義域．（2）方程f（x）＝1+logax有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）＝ax2+（a﹣1）x+1有兩個(gè)零點(diǎn)，然后求出a的取值范圍即可．【解答】解：（1）要使函數(shù)f（x）有意義，則0，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），所以f（x）的定義域?yàn)椋ī仭?，?/span>1）∪（1，+∞）．（2）方程f（x）＝1+logax，即為logalogax+1，得ax2+（a﹣1）x+1＝0，設(shè)g（x）＝ax2+（a﹣1）x+1，因?yàn)榉匠?/span>ax2+（a﹣1）x+1＝0在區(qū)間（1，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得a∈（0，3﹣2）．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，3﹣2）．21．（2021秋?黃浦區(qū)校級月考）某跨國公司決定將某種智能產(chǎn)品大量投放中國市場，已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為G（x）萬元，G（x）．（1）寫出年利潤S（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬臺）的函數(shù)解析式（利潤＝銷售收入﹣成本）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時(shí)，該公司獲得的利潤最大？并求出最大利潤．【分析】（1）根據(jù)利潤＝銷售收入﹣成本，即可得解；（2）分0＜x≤25和x＞25兩種情況，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，求出對應(yīng)的S的最大值，再比較大小，即可得解．【解答】解：（1）年利潤S＝x?G（x）﹣30﹣90x．（2）當(dāng)0＜x≤25時(shí)，S＝﹣3x2+160x﹣30＝﹣3（x）2，所以S在（0，25]上單調(diào)遞增，所以Smax＝﹣3×252+160×25﹣30＝2095；當(dāng)x＞25時(shí)，S＝﹣10x2970＝2970﹣（10x）≤2970﹣22370，當(dāng)且僅當(dāng)10x，即x＝30時(shí)，等號成立，此時(shí)Smax＝2370，因?yàn)?/span>2370＞2095，所以x＝30，Smax＝2370，故當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺時(shí)，該公司獲得的利潤最大，最大利潤為2370萬元．22．（2021秋?紅花崗區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）在范圍[﹣2，0]上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值g（a）．【分析】（1）根據(jù)題意，存在x∈[﹣2，0），使得﹣2a＝x成立，利用對勾函數(shù)y＝x的圖像和性質(zhì)求出函數(shù)y＝x在[﹣2，0）上的值域，從而得到a的取值范圍．（2）f（x）＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2，對稱軸為x＝﹣a，對對稱軸的位置分三種情況討論，分別利用函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的單調(diào)性，得到g（a）的解析式，最后再寫成分段函數(shù)的形式即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，存在x∈[﹣2，0），使得x2+2ax+1＝0成立，即存在x∈[﹣2，0），使得﹣2a＝x成立，由對勾函數(shù)y＝x的性質(zhì)可知，函數(shù)y＝x在[﹣2，﹣1]上單調(diào)遞增，在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，ymax＝﹣2，即當(dāng)x∈[﹣2，0）時(shí)，x2，∴﹣2a≤﹣2，即a≥1，∴a的取值范圍為[1，+∞）．（2）f（x）＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2，①當(dāng)﹣a≤﹣1，即a≥1時(shí)，f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，∴g（a）＝f（﹣1）＝2﹣2a，②當(dāng)﹣1＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜1時(shí)，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，③當(dāng)﹣a≥1，即a≤﹣1時(shí)，f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞減，∴g（a）＝f（1）＝2+2a，綜上所述，g（a）．
 

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