要點(diǎn)梳理1．一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形．兩腰相等 的梯形叫做等腰梯形．2．等腰梯形的判定方法：　　(1) 兩腰相等 的梯形；　　(2) 同一底上的兩個(gè)角 相等的梯形；　　(3) 對角線相等的梯形．3．梯形的中位線定理：　　梯形的中位線平行于上、下兩底，且等于兩底和的一半．常見的輔助線　　(1)平移一腰——構(gòu)造平行四邊形和三角形；　　(2)過頂點(diǎn)作高——構(gòu)造矩形和直角三角形；　　(3)延長兩腰相交——構(gòu)造三角形；　　(4)平移對角線——構(gòu)造平行四邊形和三角形；　　(5)過一腰中點(diǎn)和頂點(diǎn)作直線——構(gòu)造全等三角形．　　
考點(diǎn)鞏固測試 1.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，BD⊥CD.　　(1)求sin∠DBC的值；　　(2)若BC長度為4 cm，求梯形ABCD的面積． 　　解　(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.　　∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，　　∴∠CBD＝∠ABD＝?∠ABC.　　又∵AB＝CD，∴∠ABC＝∠C.　　∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∠DBC＋∠C＝90°，　　∴3∠DBC＝90°，∠DBC＝30°，　　∴sin∠DBC＝sin30°＝?.　　(2)∵BC＝4，∴CD＝2，BC邊上的高＝　感悟提高　　掌握梯形的面積公式；或者根據(jù)條件，將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來加以解決．
變式測試1　(2013·河南) 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，延長CB到點(diǎn)E，使BE＝AD，連接DE交AB于點(diǎn)M.　(1)求證：△AMD≌△BME；　(2)若N是CD的中點(diǎn)，且MN＝5，BE＝2，求BC的長．　　解　(1)證明：∵AD∥BC，　　∴∠A＝MBE，∠ADM＝∠E. 　　在△AMD和△BME中，　　∴△AMD≌△BME(ASA)．　　(2)∵△AMD≌△BME，∴MD＝ME.　　又∵ND＝NC，∴MN＝?EC，　　∴EC＝2MN＝2×5＝10，　　∴BC＝EC－EB＝10－2＝8.
2.　如圖，在等腰梯形ABCD中，∠C＝60°，AD∥BC，且AD＝DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE＝CF， AF、BE交于點(diǎn)P.　　(1)求證：AF＝BE；　　(2)請你猜測∠BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論． 　　解　(1)證明：∵BA＝CD＝AD，∠BAE＝∠ADF，　　AD＋DE＝CD＋CF，即AE＝DF，　　∴△BAE≌△ADF(SAS)，　　∴AF＝BE.　　(2)猜想：∠BPF＝120°.　　證明：由(1)得△BAE≌△ADF，∴∠ABE＝∠DAF，　　∴∠BPF＝∠ABP＋∠BAP＝∠BAE.　　又∵AD∥BC，∠C＝∠ABC＝60°，　　∴∠BPF＝∠BAE＝180°－60°＝120°.感悟提高 利用等腰梯形的性質(zhì)“同一底上的兩個(gè)底角相等”直接求得∠BPF的度數(shù)．
　　　變式測試2　(2012·蕪湖) 如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC, BD平分∠ABC，∠A＝60°.過點(diǎn)D作DE⊥AB，過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足分別為E、F，連接EF.求證：△DEF為等邊三角形. 　　證明　∵DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，　　∴∠ABC＝∠A＝60°.　　又∵BD平分∠ABC，　　∴∠ABD＝∠CBD＝?∠ABC＝30°.　　∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝30°，　　∴∠CBD＝∠CDB, ∴CB＝CD.　　∵CF⊥BD，∴F為BD中點(diǎn)．　　又∵DE⊥AB，∴DF＝BF＝EF. 　　∵∠ABD＝30°，∴∠BDE＝60°，　　∴△DEF為等邊三角形．
3.　(2013·棗莊) 如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF.　　(1)證明：EF＝CF；　　(2)當(dāng)tan∠ADE＝?時(shí)，求EF的長．解　(1)證明：過D作DG⊥BC于G.由已知可得，四邊形ABGD為正方形. ∵DE⊥DC，∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG，∴∠ADE＝∠GDC.又∵∠A＝∠DGC，AD＝GD，∴△ADE≌△GDC，∴DE＝DC，AE＝GC.在△EDF和△CDF中，∠EDF＝∠CDF，DE＝DC，DF為公共邊，∴△EDF≌△CDF(SAS)，∴EF＝CF.　　(2)∵tan∠ADE＝AE/AD＝?，∴AE＝GC＝2.　　設(shè)EF＝x，則BF＝8－CF＝8－x，BE＝6－2＝4. 　　由勾股定理，得x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，即EF＝5.
感悟提高　　涉及直角梯形的問題，常作高構(gòu)造矩形和直角三角形來解決問題．變式測試3　(2012·蘇州) 如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延長線段CB到E，使BE＝AD，連接AE、AC.　(1)求證：△ABE≌△CDA；　(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度數(shù)．　　解　(1)證明：在梯形ABCD中，　　∵AD∥BC，AB＝CD，　　∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA，　　∴∠ABE＝∠CDA.　在△ABE和△CDA中，　　∴△ABE≌△CDA(SAS)．　　(2)由(1)得：∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，　　∴∠AEB＝∠ACE.　　∵∠DAC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°，　　∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°.
4.(2011·福建) 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，過點(diǎn)A作AE∥DB交CB的延長線于點(diǎn)E.　　(1)求證：∠ABD＝∠CBD；　　(2)若∠C＝2∠E，求證：AB＝DC；　　(3)在(2)的條件下，sin C＝4/5，AD＝ 求四邊形AEBD的面積．　　解　(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.　　∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，　　∴∠ABD＝∠CBD.　　(2)∵AE∥DB，∴∠E＝∠CBD.　　由(1)得∠ABD＝∠CBD，∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠E.　　又∵∠C＝2∠E，∴∠ABC＝∠C，　　∴在梯形ABCD中，AB＝DC.　　
感悟提高　　本題考查了梯形、直角三角形．解答該題時(shí)，充分利用了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角(同位角)相等．變式測試4　(2011·茂名) 如圖，在等腰△ABC中，點(diǎn)D、E分別是兩腰AC、BC上的點(diǎn)，連接AE、BD相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2.　(1)求證：OD＝OE；　(2)求證：四邊形ABED是等腰梯形；　(3)若AB＝3DE, △DCE的面積為2, 求四邊形ABED的面積． 　　解　(1)證明：∵△ABC是等腰三角形，　　∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE.　　∵AB＝BA，∠2＝∠1，　　∴△ABD≌△BAE(ASA)，∴BD＝AE.　　又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，　　∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.　　
　　(2)證明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，　　∴∠OED＝?(180°－∠DOE)，　　同理：∠1＝?(180°－∠AOB)．　　∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB.　　∵AD、BE是等腰三角形兩腰所在的線段，　　∴AD與BE不平行，∴四邊形ABED是梯形．　　又由(1)知，△ABD≌△BAE，∴AD＝BE，　　∴梯形ABED是等腰梯形．　　(3)由(2)可知：DE∥AB，　　∴△DCE∽△ACB，　　　　 ∴S△ACB＝18，　　∴S四邊形ABED＝S△ACB－S△DCE＝18－2＝16 .

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