要點梳理1．有一個角是直角的平行四邊形是矩形．矩形的四個角都是直角，對角線相等且互相平分．　　矩形的判定方法：　　(1)有三個角是直角的四邊形；　　(2)是平行四邊形且有一個角是直角；　　(3) 對角線相等 的平行四邊形；　　(4) 對角線相等且互相平分 的四邊形．2．有一組鄰邊相等 的平行四邊形叫做菱形．菱形的四條邊都相等，對角線互相垂直平分 ，且每一條對角線平分一組對角 ．　　菱形的判定方法：　　(1)四條邊都相等；　　(2)有一組鄰邊相等 的平行四邊形；　　(3)對角線互相垂直 的平行四邊形；　　(4)對角線互相垂直平分 的四邊形．3．有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，兩條對角線相等，并且互相垂直平分 ．每一條對角線平分一組對角 ．　　
第24課 矩形、菱形與正方形
正方形的判定方法：　　(1)鄰邊相等的矩形；　　(2)有一角是直角的菱形．4.平行四邊形與矩形的聯(lián)系：　　在平行四邊形的基礎上，增加“一個角是直角”或“對角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎上，則需有三個角是直角(第四個角必是直角)則可判定為矩形．5.平行四邊形與菱形的聯(lián)系：　　在平行四邊形的基礎上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件可為菱形；若在四邊形的基礎上，需有四邊相等則可判定為菱形．6.菱形、矩形與正方形的聯(lián)系：　　正方形的判定可簡記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)．
考點鞏固測試 1.如圖，四邊形ABCD是矩形，E是AB上一點，且DE＝AB，過C作CF⊥DE，垂足為F.　　　(1)猜想：AD與CF的大小關系；　　(2)請證明上面的結論． 　　　解　(1)AD＝CF.　　　(2)在矩形ABCD中，　　　AB∥＝CD，∠A＝90°，　　　∴∠CDF＝∠AED.　　　又∵DE＝AB，∴DE＝CD.　　　∵CF⊥DE，　　　∴∠A＝∠DFC＝90°，　　　∴△ADE≌△FCD，∴AD＝CF.感悟提高矩形四個角都是直角，抓住這一特征，證兩個直角三角形全等；矩形的對角線將其分成若干個特殊三角形．
變式測試1　(2013·揚州) 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足為E.求證：BE＝DE.　　證明　作CF⊥BE，垂足為F，　　　∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，　　　∴四邊形EFCD為矩形，　　　∴DE＝CF，　　　∴∠FED＝∠D＝∠CFE＝90°，　　　∵∠CBF＋∠ABE＝90°，∠BAE＋∠ABE＝90°，　　　∴∠BAE＝∠CBF，　　　在△BAE和△CBF中，　　　有∠CBF＝∠BAE，∠BFC＝∠BEA＝90°，　　　AB＝BC，　　　∴△BAE≌△CBF，　　　∴BE＝CF，即BE＝DE.
2.　如圖，四邊形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延長線于E，DF⊥BC交BC的延長線于F.請你猜想DE與DF的大小關系？并證明你的猜想．　　　解　DE＝DF.　　證明：連接BD，　　在菱形ABCD中，　　BD平分∠ABC，　　∵DE⊥AB，DF⊥BC，　　∴DE＝DF.感悟提高　　此題可以證明△ADE≌△CDF，得DE＝DF；或者連接BD，由“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”證明DE＝DF.變式測試2　(2013·婁底) 如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．　(1)求證：△MAB≌△NCD；　　(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．
　　　第24課 矩形、菱形與正方形
　　　解　(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，　　　∵AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，　　　∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，　　　∴AM＝?AD，CN＝?BC，∴AM＝CN，　　　 在△MAB≌△NCD中，　　　 ∴△MAB≌△NCD.　　　　　　(2)四邊形MPNQ是菱形．　　　理由如下：連接AN，易證：△ABN≌△BAM，　　　∴AN＝BM，　　　∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN，　　　∵P、Q分別是BM、DN的中點，∴PM＝NQ，　　　∵DM＝BN，DQ＝BP，∠MDQ＝∠NBP，　　　∴△MQD≌△NPB，∴MQ＝NP，∴四邊形MPNQ是平行四邊形，　　　∵M是AD中點，Q是DN中點，　　　∴MQ＝AN，∴MQ＝BM，∴MP＝BM，　　　∴MP＝MQ，∴四邊形MQNP是菱形．
變式測試2　(2013·婁底) 如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．　(1)求證：△MAB≌△NCD；　　(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．
3.(2013·青海) 如圖，正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1交AB于點E，OC1交BC于點F.　　(1)求證：△AOE≌△BOF；　　(2)如果兩個正方形的邊長都為a，那么正方形A1B1C1O繞O點轉動，兩個正方形重疊部分的面積等于多少？解　(1)證明：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°.∵∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°，∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中，∴△AOE≌△BOF.(2)∵△AOE≌△BOF，∴S四邊形OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝? S正方形ABCD＝? a2.答：兩個正方形重疊部分面積等于? a2.
感悟提高　　正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點．變式測試3　(2012·貴陽) 如圖，在正方形ABCD中，等邊△AE的頂點E、F分別在BC和CD上．　　(1)求證：CE＝CF；　　(2)若等邊△AEF的邊長為2，求正方形ABCD的周長．解　(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF.(2)在Rt△AGE中，CE＝CF＝2×sin45°＝設正方形ABCD的邊長為x，在Rt△ABE中，
4.　(2013·麗水) 已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長線)于點M、N，AH⊥MN于點H.(1)如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系：____________； (2)如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由．如果成立請證明；(3)如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．(可利用(2)得到的結論) 　　　
(2)數(shù)量關系成立．　　　如圖②，延長CB至E，使BE＝DN.　　　∵ABCD是正方形，　　　∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，　　　∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS)，　　　∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，　　　∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，　　　∴∠BAM＋∠NAD＝45°，　　　∴∠BAM＋∠EAB＝45°，　　　∴∠EAM＝∠NAM＝45°.　　　∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．　　　∵AB、AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，　　　∴AB＝AH.
(3)如圖③，分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△ADN，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCD.由(2)可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD.設AH＝x，則MC＝x－2，NC＝x－3.在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，∴52＝(x－2)2＋(x－3)2，解得x1＝6，x2＝－1(不符合題意，舍去)．∴AH＝6.感悟提高　　在判定矩形、菱形或正方形時，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認真審題，通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法，這里方程的思想很重要．
變式測試4　(2013·宿遷) 如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設DQ＝t(0≤t≤2)，線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QE⊥AB于點E，過M作MF⊥BC于點F.　(1)當t≠1時，求證：△PEQ≌△NFM；　(2)順次連接P、M、Q、N，設四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數(shù)關系式，并求S的最小值．　　　解　(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，　　　∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.　　　∵QE⊥AB，MF⊥BC，　　　∴∠AEQ＝∠MFB＝90°，　　　∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形，　　　∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE.　　　∵PQ⊥MN，　　　∴∠EQP＝∠FMN.　　　∵∠QEP＝∠MFN＝90°，　　　∴△PEQ≌△NFM.　　　
(2)∵點P是邊AB的中點，AB＝2，DQ＝AE＝t，　　　∴PA＝1，PE＝|1－t|，QE＝2.　　　在Rt△QEP中，由勾股定理，得

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