要點梳理1．主要概念：　　(1)圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓．定點叫圓心，定長叫半徑，以O(shè)為圓心的圓記作⊙O.　　(2)弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫弧，連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，直徑是最長的弦．　　(3)圓心角：頂點在圓心，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角．　　(4)圓周角：頂點在圓上，角的兩邊與圓相交的角叫圓周角．　　(5)等?。涸谕瑘A或等圓中 ，能夠完全重合的弧．2．圓的有關(guān)性質(zhì)：　　(1)圓的對稱性：　?、賵A是軸對稱圖形，其對稱軸是過圓心的任意一條直線 ．　?、趫A是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．　?、坌D(zhuǎn)不變性，即圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合．　　(2)垂徑定理及推論：　　垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦 ，并且平分弦所對的兩條?。　〈箯蕉ɡ淼耐普摚骸　、倨椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦 ，并且平分弦所對的兩條?。弧　、谙业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心 ，并且平分弦所對的兩條?。弧　、燮椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?br/>第26課　圓的基本性質(zhì)
(3)弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論：①弦、弧、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧 、兩條弦 、兩條弦心距 中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．(4)圓周角定理及推論：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．圓周角定理的推論：①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等．②半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑(5)點和圓的位置關(guān)系(設(shè)d為點P到圓心的距離，r為圓的半徑)：①點P在圓上d＝r ； ②點P在圓內(nèi)dr．(6)過三點的圓：①經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個圓．②三角形的外心：經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三角形的外心；三角形的外心是三邊中垂線的交點，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．
3．相關(guān)輔助線： 兩條輔助線　　(1)有關(guān)弦的問題，常作其弦心距，構(gòu)造直角三角形；　　(2)有關(guān)直徑的問題，常作直徑所對的圓周角．
考點鞏固測試 1.　(2013·衡陽) 如圖，⊙O的直徑CD過弦EF的中點G，∠EOD＝40°，則∠FCD的度數(shù)為________． 　　解析　∵直徑CD過弦EF的中點，　　∴CD⊥EF，DE＝DF.　　∵∠EOD＝40°，　　∴DF＝DE＝40°，　　∴∠FCD＝20°.感悟提高　　當圖中出現(xiàn)同弧或等弧時，常常考慮到弧所對的圓周角或圓心角，“一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半”，通過求等的弧把角聯(lián)系起來．變式測試1　(2012·廣東) 如圖，A、B、C是⊙O上的三個點，∠ABC＝25°，則∠AOC的度數(shù)是________． 　　解析　∵圓心角∠AOC與圓周角∠ABC都對AC，　　∴∠AOC＝2∠ABC，　　又∵∠ABC＝25°，　　∴∠AOC＝50°.
2. 一條弦的長度等于它所在的圓的半徑，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)是___．感悟提高　　在很多沒有給定圖形的問題中，常常不能根據(jù)題目的條件把圖形確定下來，因此會導致解的不唯一性，這種題一題多解，必須分類討論．本題中，弦所對的圓周角不是唯一的，圓周角的頂點可能在優(yōu)弧上，也可能在劣弧上，依據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”，這兩個角互補．變式測試2　(2013·安徽) 如圖，點A、B、C、D在⊙O上，O點在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD＋∠OCD＝________．解析　根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角是圓心角的一半，∴∠AOC＝2∠D，又∵四邊形OABC是平行四邊形，∴∠B＝∠AOC，∵圓內(nèi)接四邊形對角互補，∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝60°，連接OD，則OA＝OD，OD＝OC，∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC，∴∠OAD＋∠OCD＝60°.
3.　如圖，已知AB、CD是⊙O的弦，M、N分別是AB、CD的中點，且∠AMN＝∠CNM.求證：AB＝CD.　　證明　連接OM、ON，　　∵M、N分別是AB、CD的中點，　　∴OM⊥AB，ON⊥CD，　　∴∠AMO＝∠CNO＝90°，　　∵∠AMN＝∠CNM，　　∴∠OMN＝∠ONM，　　∴OM＝ON.　　又∵OM⊥AB，ON⊥CD，　　∴AB＝CD，AB＝CD.感悟提高　　連接OM、ON，則OM⊥AB，ON⊥CD，OM、ON分別是弦AB、CD的弦心距，“有弦常作弦心距”，這是一個常用的方法
　　　變式測試3　(1)(2012·上海) 如圖，AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN＝3，那么BC＝________． 　　解析　∵OM⊥AB，ON⊥AC，　　∴AM＝BM，AN＝CN，　　∴MN是△ABC的中位線，　　∴MN＝?BC，　　即BC＝2MN＝2×3＝6.(2)如圖，在⊙O中，已知AC＝BD，求證：①OC＝OD；②AE＝BF. 　　證明?、龠B接OA、OB.　　∵OA＝OB，　　∴∠A＝∠B.　　∵AC＝BD，　　∴△OAC≌△OBD，　　∴OC＝OD.　?、凇摺鱋AC≌△OBD，　　∴∠AOC＝∠BOD，　　∴AE＝BF.
4.某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝16 cm，水面最深地方的高度為4 cm，求這個圓形截面的半徑． 解　如圖，設(shè)弦AB表示水面，O為圓心，過O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，根據(jù)垂徑定理，有AC＝BC.設(shè)OA＝OD＝r，在Rt△AOC中，AC2＋OC2＝OA2，則82＋(r－4)2＝r2，解得r＝10.答：這個圓形截面的半徑是10 cm.感悟提高　　這是一道實際問題，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．由于管道是圓形的，因此可以把水面寬度看作弦長，從而利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理、方程思想來求解．
變式測試4　在直徑為400 mm的圓柱形油槽內(nèi)，裝入部分油，油面寬320 mm，求油的深度．　　解　如圖①，在Rt△AOC中，AO＝200，AC＝160，　　∴OC＝120，∴CD＝OD－OC＝200－120＝80.　　如圖②，同理可知：OC＝120，　　∴CD＝OD＋OC＝200＋120＝320.　　答：油的深度為80 mm或320 mm.

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