要點梳理1．等腰三角形：　　(1)性質(zhì)：兩腰 相等，兩底角 相等，底邊上的高線、中線、頂角的角平分線“三線合一”；　　(2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰三角形．2．等邊三角形：　　　(1)性質(zhì)：三邊 相等，三內(nèi)角都等于60° ；　　　(2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．3．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°.　　(1)性質(zhì)：邊與邊的關(guān)系(勾股定理)：a2＋b2＝c2 ；　　(2)角與角的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；　　(3)邊與角的關(guān)系： 若∠A＝30°，則a＝?c， b＝　　若a＝?c，則∠A＝30°；　　若∠A＝45°，則a＝b＝　　 若a＝ 則∠A＝45°；　　 斜邊上的中線m＝?c＝R(其中R為三角形外接圓的半徑)． (4)判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形；如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．
考點鞏固測試 1.　(1)方程x2－9x＋18＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為 (　　)　A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定解析　解方程x2－9x＋18＝0，得x1＝3，x2＝6，周長為3＋6＋6＝15.(2)如果等腰三角形的一個內(nèi)角是80°，那么頂角是________度．解析　頂角是80°，或當(dāng)?shù)捉鞘?0°時，頂角是180°－2×80°＝20°.感悟提高　　在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底，也可以是腰．同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細分類討論．變式測試1　(1)(2011·株洲) 如圖， △ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC.　　①求∠ECD的度數(shù)；　?、谌鬋E＝5，求BC長．
解?、俳夥ㄒ唬骸逥E垂直平分AC，∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36°. 解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD＝∠A＝36°.②解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°，　　　∴∠B＝∠ACB＝72°.　　　∵∠ECD＝∠A＝36°，　　　∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，　　　∴∠BEC＝180°－36°－72°＝72°＝∠B，　　　∴ BC＝EC＝5.解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°，　　　∴∠B＝∠ACB＝72°， 　　　∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°， 　　　∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.(2)(2013·煙臺) 等腰三角形的周長為14，其一邊長為4，那么，它的底邊為__．解析　①等腰三角形的底邊為4；②等腰三角形的兩腰為4時，則底邊等于14－4－4＝6.
2.　如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC的中點，且AE＝BF，試判斷△DEF的形狀．　　　解　連接AD，在等腰Rt△ABC中，　　　∵AD是中線，　　　∴AD⊥BC，∠DAE＝?∠BAC＝45°，AD＝BD.　　　又∵∠B＝∠C＝45°，∴∠B＝∠DAE.　　　在△BDF和△ADE中，　　　∴△BDF≌△ADE(SAS)．∴DF＝DE，∠1＝∠2.　　　又∵∠3＋∠1＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，　　　即∠EDF＝90°.∴△DEF也是等腰直角三角形．
感悟提高　　作等腰三角形的底邊中線，構(gòu)造等腰三角形“三線合一”的基本圖形，是常見的輔助線的作法之一．變式測試2　 (2013·益陽) 如圖，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求證：AB＝AC.　　　證明　∵AE平分∠DAC，　　　∴∠1＝∠2，　　　∵AE∥BC，　　　∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，　　　∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
3.　(2012·湘潭) 如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點與C點重合，得到△DCE，連接BD，交AC于F.　　(1)猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；　　(2)求線段BD的長．　　　解　(1)∵△DCE由△ABC平移而成，　　　∴BE＝2BC＝6，DE＝AC＝3，∠E＝∠DCE＝60°.　　　∵BC＝DC＝3，　　　∴∠CBD＝∠CDB.　　　又∵∠CBD＋∠CDB＝∠DCE＝60°，　　　∴∠CDB＝30°，∴∠BDE＝90°， 　　　∴BD⊥DE.　　　∵AC∥DE，∴AC⊥BD.　　　(2)在Rt△BED中，∵BE＝6，DE＝3，　　　
感悟提高　　在解題的過程中要充分利用等邊三角形特有的性質(zhì)，每個角都相等，每條邊都相等，這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件．變式測試3　如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，且BD＝AE，AD與CE交于點F.　(1)求證：AD＝CE；　　(2)求∠DFC的度數(shù)．　　　解　(1)在等邊△ABC中，　　　AB＝AC，∠BAC＝∠CBA＝60°，　　　又∵BD＝AE，　　　∴△ABD≌△CAE，　　　∴AD＝CE.　　　(2)∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD＝∠ECA.　　　∵∠DFC是△AFC的外角，　　　∴∠DFC＝∠ECA＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝60°.
　　4.(1)如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1、l2、l3上，且l1、l2之間的距離為2，l2、l3之間的距離為3，則AC的長是 (　　)　　解析　分別過A、C畫AD⊥l3，CE⊥l3，垂足分別為D、E，易證明△ABD≌△BCE，∴AD＝BE＝3，BD＝CE＝3＋2＝5. 在Rt△ABD中，在Rt△ABC中，AB＝BC，(2)如圖，在鈍角三角形ABC中，BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC，交BC的延長線于D，求AD的長．　　　解　在Rt△ABD中，設(shè)CD＝x，　　　則AD2＝AB2－BD2＝172－(9＋x)2，　　　在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝102－x2，　　　∴172－(9＋x)2＝102－x2，　解得x＝6，　　　∴在Rt△ACD中，
感悟提高　　在線段的長無法直接求出時，可利用另一線段把這一線段表示出來，然后利用勾股定理得到一個方程，最后得解，這是利用勾股定理解決線段長的常用方法．變式測試4　(2012·寧波)勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三， 股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，則D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為 (　　)　　A．90 B．100 C．110 D．121解析　如圖，延長AB交KF于點O，延長AC交GM于點P，所以，四邊形AOLP是正方形，邊長AO＝AB＋AC＝3＋4＝7，所以，KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11，因此，矩形KLMJ的面積為10×11＝110.

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