要點(diǎn)梳理　1．n邊形以及四邊形的性質(zhì)(1)n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180° ，外角和為360°，對(duì)角線條數(shù)為(2)四邊形的內(nèi)角和為360°，外角和為360°，對(duì)角線條數(shù)為2．(3)正多邊形的定義：各條邊都相等，且各內(nèi)角都相等的多邊形叫正多邊形．2．平行四邊形的性質(zhì)以及判定(1)性質(zhì)：　　　①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行且相等；　　　②平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；　　?、燮叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分；　　?、芷叫兴倪呅问侵行膶?duì)稱圖形．(2)判定方法：　?、俣x：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；　?、谝唤M對(duì)邊平行且相等 的四邊形是平行四邊形；　?、蹆山M對(duì)邊分別相等 的四邊形是平行四邊形；　?、軆山M對(duì)角分別相等 的四邊形是平行四邊形；　?、輰?duì)角線互相平分 的四邊形是平行四邊形．
第23課 平 行 四 邊 形
考點(diǎn)鞏固測(cè)試 1.(2012·廣東) 已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BO＝DO.　　　求證：四邊形ABCD是平行四邊形．　　　證明　∵AB∥CD，　　　∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，　　　∵BO＝DO，　　　∴△OAB≌△OCD(AAS)，∴AB＝CD，　　　又∵AB∥CD，　　　∴四邊形ABCD是平行四邊形．感悟提高　　探索平行四邊形成立的條件，有多種方法判定平行四邊形：　?、偃魲l件中涉及角，考慮用“兩組對(duì)角分別相等”或“兩組對(duì)邊分別平行”來證明；　?、谌魲l件中涉及對(duì)角線，考慮用“對(duì)角線互相平分”來說明；　?、廴魲l件中涉及邊，考慮用“兩組對(duì)邊分別平行”或“一組對(duì)邊平行且相等”來證明，也可以巧添輔助線，構(gòu)建平行四邊形．
變式測(cè)試1　(2012·湛江) 如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在AD、BC邊上，且AE＝CF.　　求證：(1)△ABE≌△CDF；(2)四邊形BFDE是平行四邊形　　　證明　(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，　　　∴∠A＝∠C，AB＝CD，　　　在△ABE和△CDF中，　　　∴△ABE≌△CDF(SAS)．　　　(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，　　　∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF，　　　∴四邊形BFDE是平行四邊形．
2.　已知：如圖，在□ABCD中，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm.求□ABCD的周長(zhǎng)和面積．解　在□ABCD中，AD∥＝BC，AB∥＝CD.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，同理，CD＝DE，∴AB＝CD＝?AD.∵∠CBE＋∠ECB＝?∠ABC＋?∠DCB＝?(∠ABC＋∠DCB)＝(?)×180°＝90°，∴∠BEC＝90°.
感悟提高　　　平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)邊平行，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線互相平分，利用這些性質(zhì)可以解決與平行四邊形相關(guān)的問題，也可將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題．變式測(cè)試2　(2013·北京) 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四邊形ACEB的周長(zhǎng)．解　∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE.又∵CE∥AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴DE＝AC＝2.
3.已知：如圖，E、F分別是□ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，求證：AF＝CE.　　　解　證法一：在□ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.　　　∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴BF＝?BC，DE＝?AD，∴BF＝DE.　　　在△ABF與△CDE中，　　　∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴AF＝CE.　　　證法二：在ABCD中，AD∥＝BC.　　　∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AE＝?AD，CF＝?CB，∴AE＝CF.　　　又∵AE∥CF，　　　∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF＝CE.　　　證法二：在□ABCD中，AD∥＝BC.　　　∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，　　　∴AE＝?AD，CF＝?CB，∴AE＝CF.　　　又∵AE∥CF，　　　∴四邊形AECF是平行四邊形，　∴AF＝CE.
感悟提高　　利用平行四邊形的性質(zhì)，可以證角相等、線段相等，其關(guān)鍵是根據(jù)所要證明的全等三角形，選擇需要的邊、角相等條件；也可以證明相關(guān)聯(lián)的四邊形是平行四邊形．變式測(cè)試3　(2013·常德) 如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形．　　(1)求證：△MEF ∽△MBA；　　(2)若AF、BE分別為∠DAB、∠CBA的平分線，求證DF＝EC.　　　解　(1)證明：在□ABCD中，CD∥AB，　　　∴∠MEF＝∠MBA，∠MFE＝∠MAB，　　　∴△MEF∽△MBA.　　　(2)∵在□ABCD中，CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB.　　　又∵AF是∠DAB的平分線，　　　∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，　　　∴AD＝DF.　　　同理可得，EC＝BC.　　　∵在□ABCD中，AD＝BC，∴DF＝EC.
　　4.　如圖，在 △ABC中，D是BC上一點(diǎn)，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，求證：EG、HF互相平分．　　　證明　連接EH、FG.　　　∵E、H分別是BD、AD的中點(diǎn)，　　　∴EH∥＝?AB.　　　同理，F(xiàn)G∥＝?AB.　　　∴EH∥＝FG，　　　∴四邊形EFGH是平行四邊形，　　　∴EG、HF互相平分．感悟提高　　當(dāng)已知三角形一邊中點(diǎn)時(shí)，可以設(shè)法找出另一邊的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線，進(jìn)一步利用三角形的中位線定理，證明線段平行或倍分問題．
感悟提高　　當(dāng)已知三角形一邊中點(diǎn)時(shí)，可以設(shè)法找出另一邊的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線，進(jìn)一步利用三角形的中位線定理，證明線段平行或倍分問題．變式測(cè)試4　如圖，在△ABC中，BD、CE是角平分線，AM⊥CE，AN⊥BD，M、N分別是垂足，求證：MN∥BC.　　　證明　分別延長(zhǎng)AM、AN交BC于P、Q.　　∵CE平分∠ACB，AM⊥CE，　　　∴∠ACM＝∠PCM，∠AMC＝∠PMC＝90°.　　　又∵CM＝CM，　　　∴△ACM≌△PCM，　　　∴AM＝PM.　　　同理，AN＝QN.　　　∴MN是△APQ的中位線，　　　∴MN∥PQ，即MN∥BC.

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