01 基礎(chǔ)題


知識(shí)點(diǎn)1 線段的比


1．已知：線段a＝5 cm，b＝2 cm，則eq \f(a,b)＝(C)


A.eq \f(1,4) B．4 C.eq \f(5,2) D.eq \f(2,5)


2．如圖，若點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且AC∶BC＝3∶2，則AB∶BC＝(C)





A．2∶1 B．5∶3


C．5∶2 D．3∶1


3．根據(jù)圖示求線段的比：eq \f(AB,BC)、eq \f(AC,AD)、eq \f(BC,CD).





解：eq \f(AB,BC)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，


eq \f(AC,AD)＝eq \f(6,14)＝eq \f(3,7)，


eq \f(BC,CD)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).





知識(shí)點(diǎn)2 比例線段


4．下列各組中的四條線段成比例線段的是(A)


A．1 cm，2 cm，20 cm，40 cm


B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm


C．4 cm，2 cm，1 cm，3 cm


D．5 cm，10 cm，15 cm，20 cm


5．在比例尺是1∶38 000的南京交通游覽圖上，玄武湖公園與雨花臺(tái)烈士陵園之間的距離約為20厘米，則它們之間的實(shí)際距離約為(D)


A．19 000厘米 B．0.76千米


C．1.9千米 D．7.6千米


6．已知a，b，c，d是成比例線段．


(1)若a＝4，b＝1，c＝12，求d；


(2)若a＝1.5，b＝2.5，d＝2，求c；


(3)若b＝eq \r(3)，c＝eq \r(2)，d＝3eq \r(3)，求a.


解：(1)∵eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，∴eq \f(4,1)＝eq \f(12,d).∴d＝3.


(2)∵eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，∴eq \f(1.5,2.5)＝eq \f(c,2).∴c＝1.2.


(3)∵eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，∴eq \f(a,\r(3))＝eq \f(\r(2),3\r(3)).∴a＝eq \f(\r(2),3).





知識(shí)點(diǎn)3 黃金分割


7．如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則下列等式不正確的是(D)





A.eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC) B.eq \f(AC,AB)≈0.618


C．AC＝eq \f(\r(5)－1,2)AB D．BC＝eq \f(\r(5)－1,2)AB


8．一條線段的黃金分割點(diǎn)有2個(gè)．


9．如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80 cm，兩個(gè)端點(diǎn)A、B固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，求C、D之間的距離(結(jié)果保留根號(hào))．





解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，


∴AC＝BD＝80×eq \f(\r(5)－1,2)＝40eq \r(5)－40.


∴CD＝AC＋BD－AB＝2BD－AB＝80eq \r(5)－160.


答：C、D之間的距離為(80eq \r(5)－160)cm.








02 中檔題


10．已知成比例的四條線段的長(zhǎng)度分別為6 cm，12 cm，x cm，8 cm，且△ABC的三邊長(zhǎng)分別為x cm，3 cm，5 cm，則△ABC是(C)


A．等邊三角形 B．等腰直角三角形


C．直角三角形 D．無(wú)法判定


11．已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D，且AC∶CB＝1∶5，CD∶AB＝1∶3，則AC∶CD等于(A)


A．1∶2 B．1∶3


C．2∶3 D．1∶1


12．如圖所示，一張矩形紙片ABCD的長(zhǎng)AB＝a cm，寬BC＝b cm，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，這張紙片沿直線EF對(duì)折后，矩形AEFD的長(zhǎng)與寬之比等于矩形ABCD的長(zhǎng)與寬之比，則a∶b等于(A)





A.eq \r(2)∶1 B．1∶eq \r(2) C.eq \r(3)∶1 D．1∶eq \r(3)


13．將兩塊長(zhǎng)為a米，寬為b米的長(zhǎng)方形紅布，加工成一個(gè)長(zhǎng)c米，寬d米的長(zhǎng)方形，有人就a，b，c，d的關(guān)系寫出了如下四個(gè)等式，不過(guò)他寫錯(cuò)了一個(gè)，寫錯(cuò)的那個(gè)是(D)


A.eq \f(2a,c)＝eq \f(d,b) B.eq \f(a,c)＝eq \f(d,2b)


C.eq \f(2a,d)＝eq \f(c,b) D.eq \f(a,2c)＝eq \f(d,b)


14．美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長(zhǎng)與身高的比值越接近0.618時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高165 cm，下半身長(zhǎng)x與身高l的比值是0.60，為盡可能達(dá)到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為(C)





A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm


15．甲、乙兩地的圖上距離是15 cm，實(shí)際距離是750 km，則比例尺為1∶5__000__000．


16．已知三條線段的長(zhǎng)分別為3 cm，6 cm，8 cm，如果再增加一條線段，使這四條線段成比例，那么這條線段的長(zhǎng)可以為多少？


解：設(shè)這條線段長(zhǎng)為x cm，


若x、3、6、8成比例，則eq \f(x,3)＝eq \f(6,8)，解得x＝eq \f(9,4)；


若3、x、6、8成比例，則eq \f(3,x)＝eq \f(6,8)，解得x＝4；


若3、6、x、8成比例，則eq \f(3,6)＝eq \f(x,8)，解得x＝4；


若3、6、8、x成比例，則eq \f(3,6)＝eq \f(8,x)，解得x＝16.


綜上所述，這條線段的長(zhǎng)可以為4 cm，16 cm或eq \f(9,4) cm.











17．我們知道：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB，CD的長(zhǎng)度分別是m，n，那么就說(shuō)兩條線段的比AB∶CD＝m∶n，如果把eq \f(m,n)表示成比值k，那么eq \f(AB,CD)＝k，或AB＝kCD.請(qǐng)完成以下問(wèn)題：


(1)四條線段a，b，c，d中，如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么這四條線段a，b，c，d叫作成比例線段．


(2)已知eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝2，那么eq \f(a＋b,b)＝3，eq \f(c＋d,d)＝3；


(3)如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么eq \f(a－b,b)＝eq \f(c－d,d)成立嗎？請(qǐng)用兩種方法說(shuō)明其中的理由．


解：成立．方法一：∵eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，


∴eq \f(a,b)－1＝eq \f(c,d)－1，即eq \f(a－b,b)＝eq \f(c－d,d).


方法二：設(shè)eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝k，則a＝kb，c＝kd.


∴eq \f(a－b,b)＝eq \f(kb－b,b)＝k－1，eq \f(c－d,d)＝eq \f(kd－d,d)＝k－1.


∴eq \f(a－b,b)＝eq \f(c－d,d).





03 綜合題


18．已知線段AB，試作線段AB的黃金分割點(diǎn)C.


作法：(1)作BD⊥AB，且使BD＝eq \f(1,2)AB；


(2)連接AD，以D為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)E；


(3)以A為圓心，AE長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)C.點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．


請(qǐng)你探究：點(diǎn)C為什么是線段AB的黃金分割點(diǎn)？





解：設(shè)DB＝x，則AB＝2x，


AD＝eq \r(x2＋（2x）2)＝eq \r(5)x.


又∵DE＝x，


∴AE＝eq \r(5)x－x，即AC＝eq \r(5)x－x.


∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(5)x－x,2x)＝eq \f(\r(5)－1,2).


∴點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．








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