專題9 數(shù)列通項公式和前n項和-2021年高考沖刺之二輪專題精講精析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題9通項公式和數(shù)列求和一、單選題1．正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足，則a5＝（    ）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)，時，得到，當時，根據(jù)得到或者，再求即可.【詳解】正項數(shù)列，，當時，，，所以.當時，，，所以或者.當時，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，；當時，與是正項數(shù)列矛盾，所以舍去.故選：B.2．已知數(shù)列的前項和，則的通項公式為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用求出時的表達式，然后驗證的值是否適合，最后寫出的式子即可.【詳解】，當時，，當時，，上式也成立，，故選：B.【點睛】易錯點睛：本題考查數(shù)列通項公式的求解，涉及到的知識點有數(shù)列的項與和的關(guān)系，即，算出之后一定要判斷時對應(yīng)的式子是否成立，最后求得結(jié)果，考查學(xué)生的分類思想與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．在數(shù)列中，，且，則其通項公式為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由得出，再由累加法計算出，進而求出.【詳解】解：，，化簡得：，兩邊同時除以并整理得：，即，，，…，，將上述個式子相加得：……，即，，又也滿足上式，，.故選：D.【點睛】易錯點點睛：利用累加法求數(shù)列通項時，如果出現(xiàn)，要注意檢驗首項是否符合.4．數(shù)列，，，，…的一個通項公式是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)選項進行逐一驗證，可得答案.【詳解】選項A. ,當時，無意義.所以A不正確.選項B. ,當時，，故B不正確.選項C. ，，，所以滿足.故C正確.選項D. ,當時, ,故D不正確.故選：C5．已知數(shù)列1，,,,…，則數(shù)列的第k項是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知中數(shù)列的前4項，分析數(shù)列的項數(shù)及起始項的變化規(guī)律，進而可得答案【詳解】解：由已知數(shù)列的前4項：1，,,,歸納可知該數(shù)列的第項是一個以1為首項，以為公比的等比數(shù)列第項開始的連續(xù)項和，所以數(shù)列的第項為：故選：D6．已知數(shù)列滿足則數(shù)列的最大項為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題先根據(jù)遞推公式進行轉(zhuǎn)化得到．然后令，可得出數(shù)列是等比數(shù)列．即．然后用累乘法可求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式及二次函數(shù)的知識可得數(shù)列的最大項．【詳解】解：由題意，可知：．令，則．，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．．．，，．各項相乘，可得：．．令，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識，可知：當或時，取得最小值．，，的最小值為．．數(shù)列的最大項為．故選：．【點睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式得出通項公式，構(gòu)造新數(shù)列的方法，累乘法通項公式的應(yīng)用，以及利用二次函數(shù)思想求最值；7．已知等差數(shù)列的前項和滿足：，若，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)數(shù)列的通項與的關(guān)系，得到，，，再根據(jù)選項，代入前項和公式，計算結(jié)果.【詳解】由得，，，.又，，.故選:C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的第一個關(guān)鍵是根據(jù)公式，判斷數(shù)列的項的正負，第二個關(guān)鍵能利用等差數(shù)列的性質(zhì)和公式，將判斷和的正負轉(zhuǎn)化為項的正負.8．已知數(shù)列的前n項和，則（    ）A．350 B．351 C．674 D．675【答案】A【分析】先利用公式求出數(shù)列的通項公式，再利用通項公式求出的值.【詳解】當時，；當時，.不適合上式，.因此，；故選：A.【點睛】易錯點睛：利用前項和求通項，一般利用公式，但需要驗證是否滿足.9．已知在數(shù)列中，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由累乘法可求得，即可求出.【詳解】，即，，.故選：C.10．已知數(shù)列的前項和為，，且滿足，若，，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．0【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化條件為，由等差數(shù)列的定義及通項公式可得，求得滿足的項后即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，令，解得，所以，其余各項均大于0，所以.故選：A.【點睛】解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項，再將問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列中滿足的項，即可得解.11．若數(shù)列的前項和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項公式為，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得，進而求得數(shù)列的通項公式為，結(jié)合裂項法求得數(shù)列的前和，得出不等式，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，數(shù)列的前項和為，由“均值數(shù)列”的定義可得，所以，當時，；當時，，也滿足，所以，所以，所以，又對一切恒成立，所以，整理得，解得或.即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點睛】數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項公式，前項和公式，求和方法等對于式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性；2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.12．已知單調(diào)遞增數(shù)列的前n項和滿足，且，記數(shù)列的前n項和為，則使得成立的n的最小值為（    ）A．7 B．8C．10 D．11【答案】B【分析】由數(shù)列與的關(guān)系轉(zhuǎn)化條件可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再由錯位相減法可得，即可得解.【詳解】由題意，，當時，，所以，整理得，因為數(shù)列單調(diào)遞增且，所以，即，當時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，所以，所以，，所以成立的n的最小值為8.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是數(shù)列與關(guān)系的應(yīng)用及錯位相減法的應(yīng)用.二、填空題13．已知首項為1的數(shù)列的前n項和為Sn，且當n為偶數(shù)時，，當n為奇數(shù)且n>1時，.若，則m的最小值為___________.【答案】18【分析】根據(jù)已知條件求出n為偶數(shù)和奇數(shù)時的通項公式，，再求得前項的和得解【詳解】由題意得，，，，∴，即.又，∴數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，，∴奇數(shù)項的和為偶數(shù)項的和為∴∴，∴使得的最小整數(shù)m的值為18.故答案為：18【點睛】分奇偶項求得通項公式是解題關(guān)鍵.14．設(shè)數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，其前項和為，則的前項和為_________.【答案】【分析】先根據(jù)題意得，由于數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，進而利用分組求和法求和即可得答案.【詳解】解：由等比數(shù)列的前項和公式得，由于數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，設(shè)的前項和，則.故答案為：【點睛】本題考查等比數(shù)列求和，分組求和，考查運算能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵是求出，再結(jié)合數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，再次求和即可.15．已知數(shù)列滿足，，則__________.【答案】【分析】利用已知條件得，運用疊加法先求得，再求得.【詳解】依題意數(shù)列滿足，，所以，所以，，，，所以，所以，所以，故答案為：.16．數(shù)列的前項和為，，，，則數(shù)列的前項和_____．【答案】【分析】利用可得為等比數(shù)列，即可求出，進而得出，利用裂項相消法即可求出.【詳解】，
時，，兩式作差，得，化簡得，檢驗：當時，，，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；，，令，.故答案為：．【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.三、解答題17．已知數(shù)列的前項和滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)所給的遞推關(guān)系，結(jié)合、等比數(shù)列的定義進行求解即可；（2）利用錯位相減法進行求解即可.【詳解】（1）∵，∴時，，∴，∴，又∵，∴，∴是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴；（2）由（1）知，，所以，∴①，∴②，由①②得：18．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和滿足，且.（1）求的通項公式：（2）設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前n項和，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】(1)利用已知與的關(guān)系求{}的通項公式；(2)先根據(jù)(1)的結(jié)論求出，再求出的前n項和，利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）由，結(jié)合，因此由得，又，得從而是首項為2公差為3的等差數(shù)列，故的通項公式為.（2）由可得，從而∵，于是∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了已知與的關(guān)系求{}的通項公式，根據(jù)利用放縮法得，證明不等式，屬于較難題.19．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用即可求出；（2）利用錯位相減法即可求出.【詳解】（1）當時，則；當時，，滿足；；（2）依題意，，故，故，兩式相減可得，．【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.20．設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義求出公比后，再根據(jù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列的首項和公差求出后再根據(jù)等差、等比數(shù)列的前項和公式，分組求和，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，，，即，的通項公式.（2）是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，，數(shù)列的前n項和.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，考查了等比數(shù)列的通項公式和前項和公式，關(guān)鍵是正確求得等比數(shù)列的基本量，并注意分組求和思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21．已知數(shù)列的前n項和滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，是數(shù)列的前n項和，若對任意的，不等式都成立，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由得出的遞推關(guān)系，結(jié)合得等比數(shù)列，從而得通項公式；（2）用裂項相消法求得和，不等式可變形為，令，再用作差法得出的單調(diào)性，得最大項，從而得的取值范圍．【詳解】（1）因為數(shù)列的前n項和滿足，所以當時，，兩式相減得：，即，又時，，解得：，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而（2）由（1）知：，所以，，對任意的，不等式都成立，即，化簡得：，令，因為，故單調(diào)遞減，所以，故，所以，實數(shù)k的取值范圍是．【點睛】方法點睛：本題考查求等比數(shù)列的通項公式，考查裂項相法法求和，數(shù)列不等式恒成立問題．數(shù)列求和方法有：公式法，錯位相減法，裂項相消法，分組（并項）求和法，倒序相加法等，用作差法確定數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最大（?。╉検乔髷?shù)列最值的常用方法．22．已知等差數(shù)列中，前項和為，，為等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，，且滿足：.（1）求與；（2）記，求的前項和；（3）若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）,    （2）（3）【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為,由,,且滿足:,.可得,,聯(lián)立解出即可得出.
（2）,利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.
（2）不等式,即,化為:.對n分類討論,利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為,
,,且滿足:,，
,,聯(lián)立解得,
,；
（2）,
的前n項和,
,
兩式相減得,
；
（3）不等式,即,
化為:，
當n為偶數(shù)時,，
當n為奇數(shù)時,,解得，
對一切恒成立,
，
實數(shù)m的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求和，數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)范圍，解答本題的關(guān)鍵是利用錯位相減法求和，計算要準確，不等式,即,化為:，再分的奇偶性分別求解即可.屬于中檔題.

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