考點三十  數(shù)列前n項和與數(shù)列的通項知識梳理1．數(shù)列{an}的前n項和SnSn＝a1＋a2＋a3＋…＋an2．數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系an＝3．已知數(shù)列的前n項和Sn，求an的方法(1)第一步，令n=1,求出a1＝S1；(2)第二步，當(dāng)n≥2時，求an＝Sn－Sn－1；(3)第三步，檢驗a1是否滿足n≥2時得出的an，如果適合，則將an用一個式子表示；若不適合，將an用分段形式寫出。4．已知an與Sn的關(guān)系式，求an的方法(1)第一步，令n=1,求出a1＝S1；(2)第二步，當(dāng)n≥2時，根據(jù)已有an與Sn的關(guān)系式，令n＝n＋1(或n＝n－1)，再寫出一個an+1與Sn+1(或an－1與Sn－1)的關(guān)系式，然后兩式相減，利用公式an＝Sn－Sn－1消去Sn，得出an與an+1(或an與an－1)的關(guān)系式，從而確定數(shù)列{an}是等差數(shù)列、等比數(shù)列或其他數(shù)列，然后求出通項公式。5．根據(jù)an與an+1(或an與an－1)的遞推關(guān)系求通項公式當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)＝f(n)時，用累乘法求解．典例剖析題型一  已知數(shù)列的前n項和Sn求an 例1　已知下面數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，求{an}的通項公式解析  a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.變式訓(xùn)練  已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則其通項公式為________________．答案　an＝解析　當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時，不滿足上式．故數(shù)列的通項公式為an＝解題要點  數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是an＝當(dāng)n＝1時，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時的通項an；當(dāng)n＝1時，a1若不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示．題型二  已知an與Sn的關(guān)系式求an例2　(2013·課標(biāo)全國Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式是an＝________.答案　(－2)n－1解析　當(dāng)n＝1時，a1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.當(dāng)n＝1時，也符合an＝(－2)n－1.綜上，an＝(－2)n－1.變式訓(xùn)練  已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，求{an}的通項公式解析　當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，∴＝，又由S1＝2a2，得a2＝，且＝ ≠ ∴{an}是從第2項開始的等比數(shù)列，當(dāng)n≥2時，an＝∴an＝解題要點  已知an與Sn的關(guān)系式求an時，需要分析所推出的遞推式是對n∈N+成立，還是對n≥2時成立。對于求出的an也需進(jìn)行檢驗，看a1是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．題型三  利用遞推式求an例3　(1)設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項an＝________.(2)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，則它的一個通項公式為an＝________.答案　(1)＋1　(2)2×3n－1－1解析　(1)由題意得，當(dāng)n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an＝＋1.(2)方法一　(待定系數(shù)法)設(shè)an＋1＋＝3(an＋)，展開得an＋1＝3an＋2，與an＋1＝3an＋2比較可知：2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，因為a1＝1，所以數(shù)列{an＋1}為以a1＋1＝2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＋1＝2×3n，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝2×3n－1－1.方法二　(迭代法)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝2×3n－1－1.變式訓(xùn)練  已知數(shù)列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，則a5的值是________.答案　31解析　由題意得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.解題要點  形如an＋1＝pan＋q(p,q為常數(shù))這類遞推數(shù)列稱為一階線性遞推數(shù)列，求解的基本策略是待定系數(shù)法，即假設(shè)an＋1＋＝p(an＋)，展開與原式an＋1＝pan＋q比較系數(shù)后求出參數(shù)，然后再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項。 當(dāng)堂練習(xí)1．(2015湖南理)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________.答案　3n－1解析　由3S1，2S2，S3成等差數(shù)列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比數(shù)列通項an＝a1qn－1＝3n－1.2．已知數(shù)列滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3(n∈N*)，則a11等于________.答案  212－3解析  ∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴是公比為2的等比數(shù)列，∴an＋3＝(a1＋3)·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3，∴a11＝212－3.3. 如果數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－3，那么這個數(shù)列的通項公式是________.答案  an＝2·3n4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝________.答案　()n－1解析　當(dāng)n＝1時，S1＝2a2，又因S1＝a1＝1，所以a2＝，S2＝1＋＝．5．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為________.答案　15解析　a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15．課后作業(yè)一、    填空題1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2，則a2等于________.答案  4解析  ∵Sn＝2an－2，∴S1＝a1＝2a1－2.即a1＝2，又S2＝a1＋a2＝2a2－2，∴a2＝4.2．已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，則an＝________.答案　2－()n－1解析　設(shè)an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)()n－1＝－()n－1．3．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝________.答案  3×44解析  ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，n∈N*，∴3Sn＝Sn＋1－Sn，則Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1，∴數(shù)列{Sn}是公比為4的等比數(shù)列，∴Sn＝1·4n－1＝4n－1，從而a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.4．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝an－3，則這個數(shù)列的通項公式an＝________.答案　2·3n解析　an＝Sn－Sn－1．5．數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝，其前n項積為Tn，則T2 014＝________.答案  －6解析  由an＝得an＋1＝，而a1＝2，所以a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，則數(shù)列是以4為周期，且a1a2a3a4＝1，所以T2 014＝1503×2×(－3)＝－6．6．在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，有an＝3an－1＋2，則an＝________.答案　2·3n－1－1解析　設(shè)an＋t＝3(an－1＋t)，則an＝3an－1＋2t.∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2為首項，以3為公比的等比數(shù)列．∴an＝2·3n－1－1.7．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.答案　解析　由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，將這n－1個等式疊乘，得＝21＋2＋…＋(n－1)＝，故an＝.8．已知{an}滿足a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．答案　an＝解析　由已知，可得當(dāng)n≥1時，an＋1＝.兩邊取倒數(shù)，得＝＝＋3.即－＝3，所以{}是一個首項為＝1，公差為3的等差數(shù)列．則其通項公式為＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝.9．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式是an＝________.答案  (－2)n－1解析  ∵Sn＝an＋，①∴當(dāng)n≥2時，Sn－1＝an－1＋.②①－②，得an＝an－an－1，即＝－2.∵a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.∴{an}是以1為首項，－2為公比的等比數(shù)列，an＝(－2)n－1.10．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，則數(shù)列的通項an＝________.答案  n2解析  ∵an＋1－an＝2n＋1.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝n2(n≥2)．當(dāng)n＝1時，也適用an＝n2.11．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，則a16＝________.答案  解析  由題意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.二、解答題12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足···…·＝(an＋1)n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解析  (1)證明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，∴＝2，∴數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.(2)解：∵···…·＝(an＋1)n，∴，∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2，即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n，∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n.13．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中an≠0，a1為常數(shù)，且－a1，Sn，an＋1成等差數(shù)列．求{an}的通項公式；解析  依題意，得2Sn＝an＋1－a1.當(dāng)n≥2時，有兩式相減，得an＋1＝3an(n≥2)．又因為a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以數(shù)列{an}是首項為a1，公比為3的等比數(shù)列．因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．

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