藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)30 數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列的通項(xiàng)

這是一份藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)30 數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列的通項(xiàng)，共7頁。試卷主要包含了數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?考點(diǎn)三十 數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列的通項(xiàng)
知識梳理
1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系
an＝
3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求an的方法
(1)第一步，令n=1,求出a1＝S1；
(2)第二步，當(dāng)n≥2時，求an＝Sn－Sn－1；
(3)第三步，檢驗(yàn)a1是否滿足n≥2時得出的an，如果適合，則將an用一個式子表示；若不適合，將an用分段形式寫出。
4．已知an與Sn的關(guān)系式，求an的方法
(1)第一步，令n=1,求出a1＝S1；
(2)第二步，當(dāng)n≥2時，根據(jù)已有an與Sn的關(guān)系式，令n＝n＋1(或n＝n－1)，再寫出一個an+1與Sn+1(或an－1與Sn－1)的關(guān)系式，然后兩式相減，利用公式an＝Sn－Sn－1消去Sn，得出an與an+1(或an與an－1)的關(guān)系式，從而確定數(shù)列{an}是等差數(shù)列、等比數(shù)列或其他數(shù)列，然后求出通項(xiàng)公式。
5．根據(jù)an與an+1(或an與an－1)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋m時，構(gòu)造等差數(shù)列；
當(dāng)出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構(gòu)造等比數(shù)列；
當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解；
當(dāng)出現(xiàn)＝f(n)時，用累乘法求解．
典例剖析
題型一 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求an
例1　已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，求{an}的通項(xiàng)公式
解析 a1＝S1＝2－3＝－1，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.
變式訓(xùn)練 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則其通項(xiàng)公式為________________．
答案　an＝
解析　當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時，不滿足上式．
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝
解題要點(diǎn) 數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an＝當(dāng)n＝1時，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時的通項(xiàng)an；當(dāng)n＝1時，a1若不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示．
題型二 已知an與Sn的關(guān)系式求an
例2　(2013·課標(biāo)全國Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式是an＝________.
答案　(－2)n－1
解析　當(dāng)n＝1時，a1＝1；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.
當(dāng)n＝1時，也符合an＝(－2)n－1.
綜上，an＝(－2)n－1.
變式訓(xùn)練 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，求{an}的通項(xiàng)公式
解析　當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
∴＝，又由S1＝2a2，得a2＝，且＝ ≠
∴{an}是從第2項(xiàng)開始的等比數(shù)列，當(dāng)n≥2時，an＝
∴an＝
解題要點(diǎn) 已知an與Sn的關(guān)系式求an時，需要分析所推出的遞推式是對n∈N+成立，還是對n≥2時成立。對于求出的an也需進(jìn)行檢驗(yàn)，看a1是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．
題型三 利用遞推式求an
例3　(1)設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)an＝________.
(2)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，則它的一個通項(xiàng)公式為an＝________.
答案　(1)＋1　(2)2×3n－1－1
解析　(1)由題意得，當(dāng)n≥2時，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.
又a1＝2＝＋1，符合上式，
因此an＝＋1.
(2)方法一　(待定系數(shù)法)
設(shè)an＋1＋＝3(an＋)，展開得an＋1＝3an＋2，
與an＋1＝3an＋2比較可知：2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，因?yàn)閍1＝1，
所以數(shù)列{an＋1}為以a1＋1＝2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以an＋1＋1＝2×3n，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也滿足上式，
故數(shù)列{an}的一個通項(xiàng)公式為an＝2×3n－1－1.
方法二　(迭代法)
an＋1＝3an＋2，
即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也滿足上式，
故數(shù)列{an}的一個通項(xiàng)公式為an＝2×3n－1－1.
變式訓(xùn)練 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，則a5的值是________.
答案　31
解析　由題意得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
解題要點(diǎn) 形如an＋1＝pan＋q(p,q為常數(shù))這類遞推數(shù)列稱為一階線性遞推數(shù)列，求解的基本策略是待定系數(shù)法，即假設(shè)an＋1＋＝p(an＋)，展開與原式an＋1＝pan＋q比較系數(shù)后求出參數(shù)，然后再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項(xiàng)。

當(dāng)堂練習(xí)
1．(2015湖南理)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________.
答案　3n－1
解析　由3S1，2S2，S3成等差數(shù)列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比數(shù)列通項(xiàng)an＝a1qn－1＝3n－1.
2．已知數(shù)列滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3(n∈N*)，則a11等于________.
答案 212－3
解析 ∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴是公比為2的等比數(shù)列，∴an＋3＝(a1＋3)·2n－1＝2n＋1，
∴an＝2n＋1－3，∴a11＝212－3.
3. 如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－3，那么這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是________.
答案 an＝2·3n
4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝________.
答案　()n－1
解析　當(dāng)n＝1時，S1＝2a2，又因S1＝a1＝1，
所以a2＝，S2＝1＋＝．
5．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為________.
答案　15
解析　a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a(chǎn)8＝2×8－1＝15．
課后作業(yè)
一、 填空題
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－2，則a2等于________.
答案 4
解析 ∵Sn＝2an－2，∴S1＝a1＝2a1－2.
即a1＝2，又S2＝a1＋a2＝2a2－2，∴a2＝4.
2．已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，則an＝________.
答案　2－()n－1
解析　設(shè)an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)()n－1＝－()n－1．
3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝________.
答案 3×44
解析 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，n∈N*，∴3Sn＝Sn＋1－Sn，則Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1，
∴數(shù)列{Sn}是公比為4的等比數(shù)列，∴Sn＝1·4n－1＝4n－1，從而a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.
4．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an－3，則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.
答案　2·3n
解析　an＝Sn－Sn－1．
5．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝2，an＝，其前n項(xiàng)積為Tn，則T2 014＝________.
答案 －6
解析 由an＝得an＋1＝，而a1＝2，所以a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，則數(shù)列是以4為周期，且a1a2a3a4＝1，所以T2 014＝1503×2×(－3)＝－6．
6．在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，有an＝3an－1＋2，則an＝________.
答案　2·3n－1－1
解析　設(shè)an＋t＝3(an－1＋t)，則an＝3an－1＋2t.
∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
∴an＝2·3n－1－1.
7．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
答案　
解析　由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，將這n－1個等式疊乘，得
＝21＋2＋…＋(n－1)＝，故an＝.
8．已知{an}滿足a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
答案　an＝
解析　由已知，可得當(dāng)n≥1時，an＋1＝.
兩邊取倒數(shù)，得＝＝＋3.
即－＝3，所以{}是一個首項(xiàng)為＝1，公差為3的等差數(shù)列．
則其通項(xiàng)公式為＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
9．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式是an＝________.
答案 (－2)n－1
解析 ∵Sn＝an＋，①∴當(dāng)n≥2時，Sn－1＝an－1＋.②
①－②，得an＝an－an－1，即＝－2.
∵a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.
∴{an}是以1為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列，an＝(－2)n－1.
10．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)an＝________.
答案 n2
解析 ∵an＋1－an＝2n＋1.
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝n2(n≥2)．當(dāng)n＝1時，也適用an＝n2.
11．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，則a16＝________.
答案
解析 由題意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.
二、解答題
12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足···…·＝(an＋1)n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解析 (1)證明：∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，
∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，
∴＝2，
∴數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.
(2)解：∵···…·＝(an＋1)n，
∴，
∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2，
即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n，
∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n.
13．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中an≠0，a1為常數(shù)，且－a1，Sn，an＋1成等差數(shù)列．求{an}的通項(xiàng)公式；
解析 依題意，得2Sn＝an＋1－a1.
當(dāng)n≥2時，有兩式相減，得an＋1＝3an(n≥2)．
又因?yàn)閍2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為3的等比數(shù)列．
因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．