對桿、繩彈力的進一步分析


1．桿的彈力


自由轉動的桿：彈力一定沿桿方向，可提供拉力，也可提供推力．


固定不動的桿：彈力不一定沿桿方向，由物體所處的狀態(tài)決定．


2．繩的彈力


(1)“死結”繩：可理解為把繩子分成兩段，結點不可沿繩滑動，兩側看成兩根獨立的繩子，彈力大小不一定相等．


(2)“活結”繩：一般是由繩跨過滑輪或繩上掛一光滑掛鉤，實際上是同一根繩子．結點可沿繩滑動，兩側繩上的彈力大小相等．


如圖甲所示，輕繩AD跨過固定的水平橫梁BC右端的定滑輪掛住一個質量為M1的物體，∠ACB＝30°；圖乙中輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端G通過細繩EG拉住，EG與水平方向也成30°，輕桿的G點用細繩GF拉住一個質量為M2的物體，求：





(1)輕繩AC段的張力FTAC與細繩EG的張力FTEG之比；


(2)輕桿BC對C端的支持力；


(3)輕桿HG對G端的支持力．


[解析] 題圖甲和乙中的兩個物體M1、M2都處于平衡狀態(tài)，根據平衡條件，首先判斷與物體相連的細繩，其拉力大小等于物體的重力；分別取C點和G點為研究對象，進行受力分析如圖1和2所示，根據平衡規(guī)律可求解．





(1)圖1中輕繩AD跨過定滑輪拉住質量為M1的物體，物體處于平衡狀態(tài)，輕繩AC段的拉力


FTAC＝FTCD＝M1g，


圖2中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g.


所以eq \f(FTAC,FTEG)＝eq \f(M1,2M2).


(2)圖1中，三個力之間的夾角都為120°，根據平衡規(guī)律有FNC＝FTAC＝M1g，方向和水平方向成30°，指向右上方．


(3)圖2中，根據平衡方程有FTEGsin 30°＝M2g，


FTEGcs 30°＝FNG，


所以FNG＝eq \f(M2g,tan 30°)＝eq \r(3)M2g，方向水平向右．


[答案] (1)eq \f(M1,2M2) (2)M1g 方向和水平方向成30°指向右上方 (3)eq \r(3)M2g 方向水平向右


eq \a\vs4\al()


(1)繩桿支架問題中一定先判斷繩是“死結”還是“活結”，桿是“自由桿”還是“固定桿”，一般選結點為研究對象受力分析．


(2)桿的彈力與繩的彈力不同，繩的彈力始終沿繩指向繩收縮的方向，但桿的彈力方向不一定沿桿的方向，其大小和方向的判斷要根據物體的運動狀態(tài)來確定，可以理解為“按需提供”，即為了維持物體的狀態(tài)，由受力平衡求解得到所需彈力的大小和方向．





如圖所示，水平輕桿的一端固定在墻上，輕繩與豎直方向的夾角為37°，小球的重力為12 N，輕繩的拉力為10 N，水平輕彈簧的彈力為9 N，求輕桿對小球的作用力．


解析：(1)彈簧向左拉小球時，設桿的彈力大小為F，與水平方向的夾角為α，小球受力如圖甲所示．





甲


由平衡條件知：


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Fcs α＋F1sin 37°＝F2,Fsin α＋F1cs 37°＝G))


代入數據解得：F≈5 N，α＝53°


即桿對小球的作用力大小約為5 N，方向與水平方向成53°角斜向右上方．


(2)彈簧向右推小球時，


小球受力如圖乙所示，





乙


由平衡條件知：


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Fcs α＋F1sin 37°＋F2＝0,Fsin α＋F1cs 37°＝G))


代入數據解得：


F≈15.5 N，α＝π－arctaneq \f(4,15).


即桿對小球的作用力大小約為15.5 N，方向與水平方向成arctaneq \f(4,15)斜向左上方．


答案：見解析


摩擦力的“突變”問題


摩擦力突變的常見情況


把一重為G的物體，用一個水平的推力F＝kt(k為恒量，t為時間)壓在豎直的足夠高的平整的墻面上，如圖所示，從t＝0開始物體所受的摩擦力Ff隨t的變化關系是圖中的哪一個( )





[解析] 由于物體受的水平推力為F＝kt，由二力平衡得，墻與物體間的壓力FN＝kt.當F比較小時，物體受到的摩擦力Ff小于物體的重力G，物體將沿墻壁下滑，此時物體受到的摩擦力為滑動摩擦力．由Ff＝μFN得，滑動摩擦力Ff＝μkt，當摩擦力Ff大小等于重力G時，由于慣性作用，物體不能立即停止運動，物體受到的摩擦力仍然是滑動摩擦力．隨著摩擦力的增大，摩擦力將大于重力，物體做減速運動直至靜止，摩擦力將變?yōu)殪o摩擦力，靜摩擦力與正壓力無關，跟重力始終平衡．


[答案] B


物體受到的外力發(fā)生變化時，物體受到的摩擦力就有可能發(fā)生突變．解決這類問題的關鍵：正確對物體進行受力分析和運動狀態(tài)分析，從而找到物體摩擦力的突變“臨界點”． eq \a\vs4\al() 如圖甲所示，A物體放在水平面上，動摩擦因數為0.2，物體A重10 N，設物體A與水平面間的最大靜摩擦力為2.5 N，若對A施加一個由零均勻增大到6 N的水平推力F，請在圖乙中畫出A所受的摩擦力FA隨水平推力F變化的圖線．





解析：水平推力F≤2.5 N之前，物體未動，物體受靜摩擦力FA＝F.當F>2.5 N后，FA發(fā)生突變，變成滑動摩擦力，其大小為FA滑＝μFN＝μG＝0.2×10 N＝2 N．作出圖象如圖所示．


答案：見解析圖


物體平衡中的臨界和極值問題


1．臨界問題


(1)臨界狀態(tài)：物體的平衡狀態(tài)將要發(fā)生變化的狀態(tài)．


(2)當某物理量發(fā)生變化時，會引起其他物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現”或“恰好不出現”，這類問題的描述中經常出現“剛好”“恰好”等詞語．


(3)處理這類問題的最有效方法是假設推理法，也就是先假設，再根據平衡條件及有關知識列平衡方程，最后求解．


(4)常見的臨界狀態(tài)





2.極值問題：也就是指平衡問題中，力在變化過程中的最大值和最小值問題．解決這類問題常用以下三種方法：





如圖所示，物體的質量為2 kg，兩根輕繩AB和AC的一端連接于豎直墻上，另一端系于物體上，在物體上另施加一個方向與水平線成θ＝60°的拉力F，若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍(g取10 m/s2)．


[解析] 設繩AB彈力為F1，繩AC彈力為F2，A的受力情況如圖，由平衡條件得


Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0


Fcs θ－F2－F1cs θ＝0


由上述兩式得F＝eq \f(mg,sin θ)－F1


F＝eq \f(F2,2cs θ)＋eq \f(mg,2sin θ)


令F1＝0，得F最大值


Fmax＝eq \f(mg,sin θ)＝eq \f(40\r(3),3) N


令F2＝0，得F最小值Fmin＝eq \f(mg,2sin θ)＝eq \f(20\r(3),3) N


綜合得F的取值范圍為eq \f(20\r(3),3) N≤F≤eq \f(40\r(3),3) N.


[答案] eq \f(20\r(3),3) N≤F≤eq \f(40\r(3),3) N


eq \a\vs4\al()


解決臨界極值問題時應注意的問題


(1)求解平衡中的臨界問題和極值問題時，首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點．


(2)臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而是要把某個物理量推向極端，即極大和極小，并依此做出科學的推理分析，從而給出判斷或導出一般結論．





一個人最多能提起質量m0＝20 kg的重物．如圖所示，在傾角θ＝15°的固定斜面上放置一物體(可視為質點)，物體與斜面間的動摩擦因數μ＝eq \f(\r(3),3).設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，圖中F是人拖重物的力，求人能夠向上拖動該重物質量的最大值m.已知sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，cs 15°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).


解析：設F與斜面的夾角為α時，人能拖動重物的最大質量為m，由平衡條件可得


Fcs α－mgsin 15°－μFN＝0①


FN＋Fsin α－mgcs 15°＝0②


由已知可得F＝m0g③


聯立①②③式得m＝eq \f(m0（cs α＋μsin α）,sin 15°＋μcs 15°)


其中μ為定值，代入μ＝eq \f(\r(3),3)


得重物質量的最大值為20eq \r(2) kg.


答案：20eq \r(2) kg分類
說明
案例圖示
靜—靜“突變”
物體在摩擦力和其他力作用下處于平衡狀態(tài)，當作用在物體上的其他力發(fā)生突變時，如果物體仍能保持靜止狀態(tài)，則物體受到的靜摩擦力的大小或方向將會發(fā)生“突變”
在水平力F作用下物體靜止于斜面，F突然增大時物體仍靜止，則所受靜摩擦力大小或方向將“突變”



靜—動“突變”
物體在摩擦力和其他力作用下處于靜止狀態(tài)，當其他力變化時，如果物體不能保持靜止狀態(tài)，則物體受到的靜摩擦力將“突變”為滑動摩擦力
放在粗糙水平面上的物體，水平作用力F從零逐漸增大，物體開始滑動時，物體受到地面的摩擦力由靜摩擦力“突變”為滑動摩擦力



動—靜“突變”
在摩擦力和其他力作用下，做減速運動的物體突然停止滑行時，物體將不受摩擦力作用，或滑動摩擦力“突變”為靜摩擦力
滑塊以v0沖上斜面做減速運動，當到達某位置靜止時，滑動摩擦力“突變”為靜摩擦力



動—動“突變”
某物體相對于另一物體滑動的過程中，若突然相對運動方向變了，則滑動摩擦力方向發(fā)生“突變”
水平傳送帶的速度v1大于滑塊的速度v2，滑塊受到的滑動摩擦力方向向右，當傳送帶突然被卡住時滑塊受到的滑動摩擦力方向“突變”為向左



狀態(tài)
臨界條件
兩接觸物體脫離與不脫離
相互作用力為0(主要體現為兩物體間的彈力為0)
繩子斷與不斷
繩中張力達到最大值
繩子繃緊與松弛
繩中張力為0
存在摩擦力作用的兩物體間發(fā)生相對滑動或相對靜止
靜摩擦力達到最大
解析法
根據物體的平衡條件列方程，在解方程時，采用數學知識求極值或者根據物理臨界條件求極值
圖解法
根據物體的平衡條件作出物體的受力分析圖，畫出平行四邊形或矢量三角形進行動態(tài)分析，確定最大值或最小值
極限法
極限法是一種處理臨界問題的有效方法，它是指通過恰當選取某個變化的物理量將問題推向極端(“極大”“極小”“極右”“極左”等)，從而把比較隱蔽的臨界現象暴露出來，使問題明朗化，便于分析求解

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