一．選擇題


1．如圖，將邊長相等的正方形、正五邊形、正六邊形紙板，按如圖方式放在桌面上，則∠a的度數(shù)是（ ）





A．42°B．40°C．36°D．32°


2．如圖，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA，OE分別交于點(diǎn)F，G，點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn)．若FM＝4．則點(diǎn)O到FM的距離是（ ）





A．4B．C．D．


3．已知圓的內(nèi)接正六邊形的面積為18，則該圓的半徑等于（ ）


A．3B．2C．D．


4．圓內(nèi)接正六邊形的邊長為3，則該圓的直徑長為（ ）


A．3B．3C．3D．6


5．正六邊形的周長為12，則它的面積為（ ）


A．B．C．D．


6．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠ABD的度數(shù)為（ ）





A．60°B．72°C．78°D．144°


7．如圖，已知⊙O的周長等于6π，則它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的面積是（ ）





A．B．C．D．


8．如圖，⊙O的外切正八邊形ABCDEFGH的邊長2，則⊙O的半徑為（ ）





A．2B．C．3D．


9．如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB，DE分別相切于點(diǎn)B，D，則劣弧BD所對(duì)的圓心角∠BOD的大小為（ ）





A．108°B．118°C．144°D．120°


10．如圖，正六邊形ABCDEF的半徑OA＝OD＝2，則點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）





A．（1，﹣）B．（﹣1，）C．（﹣，1）D．（，﹣1）





二．填空題


11．正八邊形半徑為2，則正八邊形的面積為 ．


12．如圖，正六邊形ABCDEF中的邊長為6，點(diǎn)P為對(duì)角線BE上一動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值為 ．





13．如圖，正六邊形ABCDEF，連接AE，CF，則＝ ．





14．如圖，螺母的一個(gè)面的外沿可以看作是正六邊形，這個(gè)正六邊形ABCDEF的半徑是2cm，則這個(gè)正六邊形的周長是 ．





15．如圖，要擰開一個(gè)邊長為a＝8mm的正六邊形螺料，扳手張開的開口b至少為 mm．





三．解答題


16．如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB＝cm，求⊙O的半徑．





17．（1）解不等式組


（2）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，若正方形的面積等于4，求⊙O的面積．





18．如圖2，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC邊上的中線AD＝12．求證：AB＝AC．





19．如圖，⊙O半徑為4cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF，點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A，D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向終點(diǎn)F，C運(yùn)動(dòng)，連接PB，QE，PE，BQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．


（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形；


（2）填空：


①當(dāng)t＝ s時(shí)，四邊形PBQE為菱形；


②當(dāng)t＝ s時(shí)，四邊形PBQE為矩形．








參考答案與試題解析


一．選擇題


1．【解答】解：正方形的內(nèi)角為90°，


正五邊形的內(nèi)角為＝108°，


正六邊形的內(nèi)角為＝120°，


∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°，


故選：A．


2．【解答】解：連接ON，過O作OH⊥FM于H，


∵正六邊形OABCDE，


∴∠FOG＝120°，


∵點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn)，


∴∠FOM＝60°，


∵OH⊥FM，OF＝OM，


∴∠OFH＝60°，∠OHF＝90°，F(xiàn)H＝FM＝2，


∴OH＝FH＝2，


故選：C．





3．【解答】解：設(shè)O是正六邊形的中心，AB是正六邊形的一邊，OC是邊心距，


∠AOB＝60°，OA＝OB＝R，


則△OAB是正三角形，


∵OC＝OAsin∠A＝R，


∴S△OAB＝ABOC＝R2，


∴正六邊形的面積為6×R2＝R2＝18，


解得：R＝＝2，


故選：B．





4．【解答】解：如圖，


∵圓內(nèi)接正六邊形邊長為3，


∴AB＝3，


可得△OAB是等邊三角形，圓的半徑為3，


直徑為3×2＝6，


故選：D．





5．【解答】解：如圖，連接OB，OC，過O作OM⊥BC于M，


∴∠BOC＝×360°＝60°，


∵OB＝OC，


∴△OBC是等邊三角形，


∵正六邊形ABCDEF的周長為24，


∴BC＝12÷6＝2，


∴OB＝BC＝2，


∴BM＝BC＝1，


∴OM＝＝，


∴S△OBC＝×BC×OM＝×2×＝，


∴該六邊形的面積為：×6＝6．


故選：D．





6．【解答】解：∵五邊形ABCDE為正五邊形，


∴∠ABC＝∠C＝＝108°，


∵CD＝CB，


∴∠CBD＝＝36°，


∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，


故選：B．


7．【解答】解：過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，


∴AH＝AB，


∵⊙O的周長等于6π，


∴⊙O的半徑為：3，


∵∠AOB＝×360°＝60°，OA＝OB，


∴△OAB是等邊三角形，


∴AB＝OA＝3，


∴AH＝，


∴OH＝＝，


∴S正六邊形ABCDEF＝6S△OAB＝6××3×＝．


故選：A．


8．【解答】解：設(shè)DE與⊙O相切于點(diǎn)N，連接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，如圖所示：


則ON⊥DE，DE＝2，OD＝OE，∠DOE＝＝45°，


∵DM⊥OE，


∴△ODM是等腰直角三角形，


∴DM＝OM，OE＝OD＝DM，


設(shè)OM＝DM＝x，則OD＝OE＝x，EM＝OE﹣OM＝（﹣1）x，


在Rt△DEM中，由勾股定理得：x2+（﹣1）2x2＝22，


解得：x2＝2+，


∵△ODE的面積＝DE×ON＝OE×DM，


∴ON＝＝＝＝+1，


即⊙O的半徑為：1+；


故選：B．





9．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，


∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．


∵AB、DE與⊙O相切，


∴∠OBA＝∠ODE＝90°，


∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，


故選：C．


10．【解答】解：連接OB，


∵正六邊形ABCDEF的半徑OA＝OD＝2，


∴OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝∠60°，


∴∠OBH＝60°，


∴BH＝OB＝1，OH＝OBcs∠OBH＝×2＝，


∴B（﹣，1），


∴點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣1）．


故選：D．





二．填空題（共5小題）


11．【解答】解：連接OA，OB，作AC⊥BO于點(diǎn)C，


∵⊙O的半徑為2，則⊙O的內(nèi)接正八邊形的中心角為：＝45°，


∴AC＝CO＝2，


∴S△ABO＝OBAC＝×2×2＝2，


∴S正八邊形＝8S△ABO＝16，


故答案為：16．





12．【解答】解：當(dāng)CP⊥BE時(shí)，PC的值最小，此時(shí)PC＝BCsin60°＝6×＝3，


故答案為3．


13．【解答】解：連接BD交CF于K．





∵六邊形ABCDEF是正六邊形，


∴∠BAF＝∠AFE＝120°，F(xiàn)A＝FE，


∴∠FAE＝30°，


∴∠BAE＝90°，同理可證∠AED＝∠BDE＝90°，


設(shè)FG＝CK＝a，則AF＝BC＝AB＝2a，


∴CF＝4a，AE＝2AG＝2a，


∴＝＝，


故答案為：．


14．【解答】解：設(shè)正六邊形的中心為O，連接AO，BO，如圖所示：


∵O是正六邊形ABCDEF的中心，


∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60°，AO＝BO＝2cm，


∴△AOB是等邊三角形，


∴AB＝OA＝2cm，


∴正六邊形ABCDEF的周長＝6AB＝12cm．


故答案為：12cm．





15．【解答】解：設(shè)正六邊形的中心是O，其一邊是AB，連接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如圖所示：


∴∠AOB＝∠BOC＝60°，


∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，


∴四邊形ABCO是菱形，


∴AC⊥OB，AM＝CM，


∵AB＝8mm，∠AOB＝60°，


∴sin∠AOB＝＝，


∴AM＝8×＝4（mm），


∴AC＝2AM＝8mm，


故答案為：8．





三．解答題（共4小題）


16．【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接BO，


∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，


∴點(diǎn)O即是三角形內(nèi)心也是外心，


∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝BC＝AB＝，


∴cs30°＝＝＝，


解得：BO＝2，


即⊙O的半徑為2cm．





17．【解答】解：（1）


由x≤3x+2得：x≥﹣1，


由x﹣1＜2﹣2x得：x＜1，


故原不等式的解集為：﹣1≤x＜1；


（2）∵正方形的面積等于4，


∴正方形的邊長AB＝2，


則半徑是2×＝，


∴⊙O的面積＝π（）2＝2π．


故答案是：2π．


18．【解答】（1）解：連接OD，如圖所示：


∵六邊形ABCDEF是圓O的內(nèi)接正六邊形，


∴∠O＝＝60°，


∵OC＝OD，


∴△OCD是等邊三角形，


∴CD＝OC＝4，


即正六邊形的邊長為4；





（2）證明：∵AD是△ABC的中線，


∴BD＝CD＝BC＝5，


∵AB＝13，AD＝12，


∴BD2+AD2＝52+122＝169＝132＝AB2，


∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，


又∵BD＝CD，


∴AB＝AC．





19．【解答】（1）證明：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，


∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，


∵點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A，D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向終點(diǎn)F，C運(yùn)動(dòng)，


∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t，


在△ABP和△DEQ中，


，


∴△ABP≌△DEQ（SAS），


∴BP＝EQ，同理可證PE＝QB，


∴四邊形PEQB是平行四邊形．





（2）解：①當(dāng)PA＝PF，QC＝QD時(shí)，四邊形PBEQ是菱形時(shí)，此時(shí)t＝2s．


②當(dāng)t＝0時(shí)，∠EPF＝∠PEF＝30°，


∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°，


∴此時(shí)四邊形PBQE是矩形

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