相交線，垂線（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對頂角概念，掌握對頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡單的計算.【要點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對頂角1．鄰補(bǔ)角：如果兩個角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為鄰補(bǔ)角．要點(diǎn)詮釋：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個角的和為180°．(2)鄰補(bǔ)角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角．(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個角不一定互為鄰補(bǔ)角．(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊；另一邊互為反向延長線. 2. 對頂角及性質(zhì)： （1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個角中，有公共頂點(diǎn)沒有公共邊(相對)的兩個角，互為對頂角． （2）性質(zhì)：對頂角相等．要點(diǎn)詮釋：(1)由定義可知只有兩條直線相交時，才能產(chǎn)生對頂角．(2)對頂角滿足的條件：①相等的兩個角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.3. 鄰補(bǔ)角與對頂角對比：         角的名稱 特    征 性 質(zhì) 相 同 點(diǎn) 不 同 點(diǎn)對頂角 ①兩條直線相交形成的角； ②有一個公共頂點(diǎn)；③沒有公共邊.  對頂角相等. ①都是兩條直線相交而成的角；②都有一個公共頂點(diǎn)；③都是成對出現(xiàn)的.  ①有無公共邊；②兩直線相交時，對頂角只有2對；鄰補(bǔ)角有4對.  鄰補(bǔ)角 ①兩條直線相交而成；②有一個公共頂點(diǎn)；③有一條公共邊.  鄰補(bǔ)角互補(bǔ).  【高清課堂：相交線 403101  兩條直線垂直】知識點(diǎn)二、垂線1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．要點(diǎn)詮釋：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；         直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O.(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫法：過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．要點(diǎn)詮釋： (1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．要點(diǎn)詮釋：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．要點(diǎn)詮釋：（1）    點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度．【典型例題】類型一、鄰補(bǔ)角與對頂角1．如圖所示，AB和CD相交于點(diǎn)O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，試說明OM和ON成一條直線。【答案與解析】解：∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分線定義）。∵∠AOC=∠BOD（對頂角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代換）。∵∠AON+∠BON=180°（鄰補(bǔ)角定義），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代換），∴ OM和ON共線。【總結(jié)升華】要得出OM和ON成一條直線，就要說明∠MON是平角，從圖中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要證明它們的非公共部分相等，即∠AOM和∠BON相等，本題得證。2.如圖所示，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求．【答案與解析】解：設(shè)∠1＝x，則∠2＝4x．∵  OE平分∠BOD，∴  ∠BOD＝2∠1＝2x．∵  ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴  x＝30°．∵  ∠DOE+∠COE＝180°，∴  ∠COE＝150°．又∵  OF平分∠COE，∴  ∠COF＝∠COE＝75°．∵  ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴  ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．【總結(jié)升華】涉及有比值的題設(shè)條件，如a:b＝m:n，在解題時設(shè)，，這是常用的用方程思想解題的方法．舉一反三：【變式】已知α的補(bǔ)角是一個銳角，有3人在計算時的答案分別是32°、87°、58°，其中只有一個答案是正確的，求的度數(shù)．【答案】解法1：∵  α的補(bǔ)角是一個銳角，∴  α是一個鈍角，即90°＜α＜180°，∴  ．由已知三人計算出的答案分別為32°、87°、58°，可知．∴  ．解法2：由題意可知是一個鈍角，即．如果，那么，不滿足；如果，那么，不滿足；如果，那么，滿足，所以此人計算的答案正確．所以．【總結(jié)升華】在處理數(shù)學(xué)問題中的誤選答案問題時，常采用驗(yàn)算法，如本題的解法2：先利用假設(shè)求出相應(yīng)的α的度數(shù)，再驗(yàn)證是否正確．3.（1）如圖（1），已知直線a、b相交于點(diǎn) O，則（1）圖中共有幾對對頂角?幾對鄰補(bǔ)角？（2）如圖（2），已知直線a、b、c、d是經(jīng)過點(diǎn)O的四條直線，則圖（2）中共有幾對對頂角（不含平角）?幾對鄰補(bǔ)角？     【答案與解析】解：（1）2對對頂角，4對鄰補(bǔ)角。（2）將圖（2）拆分為下圖：     通過觀察圖形．不難發(fā)現(xiàn)a、b、c、d四條直線兩兩相交，最多有6個交點(diǎn)，而由（1）知：每個交點(diǎn)處有兩對對頂角，有四對鄰補(bǔ)角，對頂角的對數(shù)：（對）；鄰補(bǔ)角的對數(shù):(對)答：圖中共有12對對頂角，24對鄰補(bǔ)角【總結(jié)升華】本例分析問題的方法是通過直線的移動，將直線相交于一點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線兩兩相交．這樣移動，可將抽象的問題直觀化．因?yàn)?/span>n條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)．每個交點(diǎn)處有兩組對頂角，故n條直線相交于一點(diǎn)共有n(n-1)對對頂角，2n(n-1)對鄰補(bǔ)角。舉一反三：【變式】（2015?青島模擬）如圖，直線AB與CD相交所成的四個角中，∠1的鄰補(bǔ)角是　    　，∠1的對頂角是　  　．【答案】∠ 2和∠ 4；∠ 3.由圖形可知，∠1的對頂角是∠3，∠1的鄰補(bǔ)角是∠2和∠4．類型二、垂線4．下列語句：①兩條直線相交，若其中一個交角是直角，那么這兩條直線垂直。②一條直線的垂線有無數(shù)條。③空間內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；④兩條直線相交成四個角，如果有兩個角相等，那么這兩條直線垂直。其中正確的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。【答案】①②【解析】解此題必須嚴(yán)格按照垂線的定義“兩條直線相交成直角”及垂線的性質(zhì)“過平面內(nèi)任意一點(diǎn)，即過直線上或直線外任意一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直”來作判斷。①正確；②正確，過任意一點(diǎn)都可以作；對于③只有在“同一平面內(nèi)”才成立，因?yàn)榭臻g內(nèi)，當(dāng)這點(diǎn)在直線上時，過這點(diǎn)并非只有一條直線與已知直線垂直，故③錯誤；④錯誤，必須是兩個鄰角相等，如下圖：【總結(jié)升華】應(yīng)用垂線的定義及垂線的性質(zhì)時要把握其中的本質(zhì)要求：①關(guān)于垂線的定義：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個角中，是否有一個角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直；②關(guān)于垂線的性質(zhì)：平面內(nèi)，過任意一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直，這條性質(zhì)說明了已知直線的垂線的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性質(zhì)中的“任意一點(diǎn)”可能在這條已知直線上，也可能在這條已知直線外。舉一反三：【變式】在鐵路旁有一城鎮(zhèn)，現(xiàn)打算從城鎮(zhèn)修一條和鐵路垂直的道路，這種方案是唯一的，是因?yàn)?/span>(    )A．經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線B．兩點(diǎn)之問的所有連線中，線段最短C．在同一平面內(nèi)，兩直線同時垂直同一條直線，則這兩直線也互相垂直． D．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D   提示：注意區(qū)分直線性質(zhì)與垂線性質(zhì)  5. （2015春?會寧縣期中）如圖，∠1=30°，AB⊥CD，垂足為O，EF經(jīng)過點(diǎn)O．求∠2、∠3的度數(shù)． 【答案與解析】解：由題意得：∠3=∠1=30°（對頂角相等）∵AB⊥CD（已知）∴∠BOD=90°（垂直的定義） ∴∠3+∠2=90°即30°+∠2=90°∴∠2=60°【總結(jié)升華】本題考查了垂線，對頂角、鄰補(bǔ)角．注意：由垂直得直角．【高清課堂：相交線403101   例4變式（1）】舉一反三：【變式】如圖，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求證：ON平分∠BOC.【答案】解：如圖，∵OM平分∠AOB     ∴∠1=∠2又∵OM ⊥ON     ∴∠3=90°－∠2由圖可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2∴∠3=∠4∴ ON平分∠BOC6.如圖所示，一輛汽車在直線形公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路兩側(cè)的村莊．    (1)設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q位置時，距離村莊N最近，請?jiān)趫D中的公路AB上分別畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置(保留作圖痕跡)．    (2)當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村莊都越來越近?在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離村莊M越來越遠(yuǎn)?(分別用文字表述你的結(jié)論，不必說明)【答案與解析】解：(1)過點(diǎn)M作MP⊥AB，垂足為P，過點(diǎn)N作NQ⊥AB，垂足為Q，點(diǎn)P、Q就是要畫的兩點(diǎn)，如圖所示．(2)當(dāng)汽車從A向B行駛時，在AP這段路上，離兩個村莊越來越近；在PQ這段路上，離村莊M越來越遠(yuǎn)，離村莊N越來越近．【總結(jié)升華】利用垂線段最短解決實(shí)際問題是常用的一種方法．舉一反三：【變式1】如圖所示，過A點(diǎn)作AD⊥BC，垂足為D點(diǎn)．【答案】解：如圖所示      【變式2】點(diǎn)P為直線外一點(diǎn)：點(diǎn)A、B、C為直線上三點(diǎn)，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，則點(diǎn)P到直線的距離是  (    )A．2 cm    B．4 cm    C．5 cm    D．不超過2 cm【答案】D【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．（2015春?烏蘭察布校級期中）a、b、c是平面上任意三條直線，交點(diǎn)可以有（　?。?/span>　 A．1個或2個或3個 B． 0個或1個或2個或3個　 C．1個或2個 D． 都不對2．下列說法正確的有    (    )    ①因?yàn)椤?/span>1與∠2是對頂角，所以∠1＝∠2；    ②因?yàn)椤?/span>1與∠2是鄰補(bǔ)角，所以∠1＝∠2；    ③因?yàn)椤?/span>1和∠2不是對頂角，所以∠1≠∠2；④因?yàn)椤?/span>1和∠2不是鄰補(bǔ)角，所以∠1+∠2≠180°．    A．0個    B．1個    C．2個    D．3個3．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CD，則圖中與∠EOF相等的角還有（   ）A．1個    B．2個    C．3個    D．4個4．如圖，∠PQR＝138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT等于（   ）A．42°    B．64°    C．48°    D．24°5．如圖所示，OC⊥OA，OD⊥OB，∠AOB＝150°，∠COD的度數(shù)為 (    )A．90°    B．60°   C．30°   D． 45°6．已知關(guān)于距離的四種說法： ①連結(jié)兩點(diǎn)的線段長度叫做兩點(diǎn)間的距離；    ②連結(jié)直線外的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)的線段叫做點(diǎn)到直線的距離；    ③以直線外一點(diǎn)所引的這條直線的垂線叫做點(diǎn)到直線的距離；    ④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做這點(diǎn)到直線的距離．其中正確命題的個數(shù)   （  ）A．0個     B．1個     C．2個      D． 3個二、填空題7.（2015春?東城區(qū)期末）如圖所示：直線AB與CD相交于O，已知∠1=30°，OE是∠BOC的平分線，則∠2=　　°，∠3=　　°．8．如圖，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，則BD的取值范圍是________． 9．請你在表盤上畫出時針與分針，使時針與分針恰好互相垂直．(1) 時針和分針互相垂直的整點(diǎn)時刻分別為         ；(2)一天24小時，時針與分針互相垂直________次．10. 在同一平面內(nèi)，OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB在同一直線線上，理由是________________．11. 100條直線兩兩相交于一點(diǎn)，則共有對頂角（不含平角）_______對，鄰補(bǔ)角________對。 12．如圖，工廠A要把處理過的廢水引入排水溝PQ，從工廠A沿________方向鋪設(shè)水管用料最省，這是因?yàn)?/span>________．三、解答題13.（2015春?淄博校級期中）如圖所示，OA⊥OB，OC⊥OD，OE為∠BOD的平分線，∠BOE=17°．求∠AOC的度數(shù)．14．如圖，已知A、O、B三點(diǎn)在一直線上，∠AOC＝120°，OD、OE分別是∠AOC，∠BOC的平分線．(1)判斷OD與OE的位置關(guān)系；(2)當(dāng)∠AOC大小發(fā)生變化時，OD、OE仍分別是∠AOC、∠BOC的平分線，則OD與OE的位置關(guān)系是否改變? 請說明理由．    15．如圖，AOB為一條在O處拐彎的河，要修一條從村莊P通向這條河的道路，現(xiàn)在有兩種設(shè)計方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路．如果不考慮其他因素，這兩種方案哪一個經(jīng)濟(jì)一些?它是不是最佳方案？如果不是，請你幫助設(shè)計出最佳的方案，并簡要說明理由．        【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B.【解析】三條直線兩兩平行，沒有交點(diǎn)；三條直線交于一點(diǎn)，有一個交點(diǎn)；兩條直線平行與第三條直線相交，有兩個交點(diǎn)；三條直線兩兩相交不交于同一點(diǎn)，有三個交點(diǎn).2. 【答案】B 【解析】只有①正確。3. 【答案】B  【解析】與∠EOF相等的角還有：∠BOC，∠AOD．4．【答案】A 【解析】∠PQS=138°－90°＝48°，∠SQT＝90°－48°＝42°．5. 【答案】C  【解析】∠COD＝180°－150°＝30°．6. 【答案】B  【解析】只有①正確．二、填空題7.【答案】30，75．【解析】∵∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，∠BOC=180°﹣∠1=150°，∵OE是∠BOC的平分線，∴∠3=∠BOC=75°.8. 【答案】bcm＜BD＜a cm9．【答案】(1)3時或9時；  (2)44【解析】一天24小時中時針轉(zhuǎn)2圈，分針轉(zhuǎn)24圈，所以分針要超過時針的圈數(shù)是：24-2=22（圈），分針每超過時針一圈，前后各有一次垂直，所以一天24小時中分針與時針垂直的次數(shù)是：（24-2）×2=22×2=44（次）．10．【答案】在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直11．【答案】9900，19800。【解析】100條直線兩兩相交，最多有個交點(diǎn)．每個交點(diǎn)處有兩組對頂角，4對鄰補(bǔ)角，故100條直線相交于一點(diǎn)共有4950×2＝9900（對）對頂角，有4950×4＝19800（對）鄰補(bǔ)角。12．【答案】垂直于PQ的，垂線段最短。三、解答題13.【解析】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB=∠COD=90°，∵OE為∠BOD的平分線，∠BOE=17°，∴∠BOD=2∠BOE=34°，∴∠AOC=360°﹣90°﹣90°﹣34°=146°．14．【解析】解：(1)OD⊥OE．  (2)不變，理由如下：∵  OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的平分線，∴  ∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB．∴  ∠DOE＝(∠AOC+∠COB)＝×180°＝90°，∴  OD⊥OE．15．【解析】解：本題所給出的兩種方案中，沿PO修路這種方案更經(jīng)濟(jì)一些，因?yàn)?/span>PO是OA的垂線段，PM是OA的斜線段，根據(jù)垂線段最短可知，PO＜PM，但它仍不是最佳方案，最經(jīng)濟(jì)的方案應(yīng)為沿如圖所示的線段PN修路．因?yàn)榇咕€段最短得知，線段PN是P與OB上的各點(diǎn)的連線中最短的，PO是P與OA上的各點(diǎn)的連線中最短的，即PN＜PO＜PM．所以沿線段PN修路是最經(jīng)濟(jì)的方案．    

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