1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特點；(重點)


2．掌握運用完全平方公式分解因式的方法，能正確運用完全平方公式把多項式分解因式．(難點)





一、情境導入


1．分解因式：


(1)x2－4y2； (2)3x2－3y2；


(3)x4－1; (4)(x＋3y)2－(x－3y)2；


2．根據(jù)學習用平方差公式分解因式的經驗和方法，你能將形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式嗎？


二、合作探究


探究點一：用完全平方公式因式分解


【類型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式


下列多項式能用完全平方公式分解因式的有( )


(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋eq \f(1,4)；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.


A．1個 B．2個 C．3個 D．4個


解析：(1)a2＋ab＋b2，乘積項不是a，b兩數(shù)的積的2倍，不能運用完全平方公式；(2)a2－a＋eq \f(1,4)＝(a－eq \f(1,2))2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘積項是3a和2b兩數(shù)積的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故選B.


方法總結：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍．


【類型二】 運用完全平方公式分解因式


因式分解：


(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；


(2)(a2＋4)2－16a2.


解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一個因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．


解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；


(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.


方法總結：分解因式的步驟是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，沒有公因式的用公式，最后檢查每一個多項式的因式，看能否繼續(xù)分解．








探究點二：用完全平方公式因式分解的應用


【類型一】 運用因式分解進行簡便運算


利用因式分解計算：


(1)342＋34×32＋162；


(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.


解析：利用完全平方公式轉化為(a±b)2的形式后計算即可．


解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；


(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.


方法總結：此題主要考查了運用公式法分解因式，正確掌握完全平方公式是解題關鍵．


【類型二】 完全平方公式的非負性的運用


試說明：不論a，b，c取什么有理數(shù)，a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非負數(shù)．


解析：先提取eq \f(1,2)后，分組湊成完全平方公式，從而判斷它的非負性．


解：a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝eq \f(1,2)(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝eq \f(1,2)[(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋(a2－2ac＋c2)]＝eq \f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非負數(shù)．


方法總結：本題主要考查了完全平方公式的運用，解題的關鍵在于把原多項式化為三個完全平方公式和的形式，利用完全平方公式的非負性來作出判斷．


【類型三】 整體代入求值


已知a＋b＝5，ab＝10，求eq \f(1,2)a3b＋a2b2＋eq \f(1,2)ab3的值．


解析：將eq \f(1,2)a3b＋a2b2＋eq \f(1,2)ab3分解為eq \f(1,2)ab與(a＋b)2的乘積，因此可以運用整體代入的數(shù)學思想來解答．


解：eq \f(1,2)a3b＋a2b2＋eq \f(1,2)ab3＝eq \f(1,2)ab(a2＋2ab＋b2)＝eq \f(1,2)ab(a＋b)2.當a＋b＝5，ab＝10時，原式＝eq \f(1,2)×10×52＝125.


方法總結：解答此類問題的關鍵是對原式進行變形，將原式轉化為含已知代數(shù)式的形式，然后整體代入．


三、板書設計


1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.


2．完全平方公式的特點：


(1)必須是三項式(或可以看成三項的)；


(2)有兩個同號的平方項；


(3)有一個乘積項(等于平方項底數(shù)的±2倍)．


簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央．








本節(jié)課學生的探究活動比較多，教師既要全局把握，又要順其自然，千萬不可拔苗助長，為了后面多做幾道練習而主觀裁斷時間安排．其實公式的探究活動本身既是對學生能力的培養(yǎng)，又是對公式的識記過程，而且還可以提高他們應用公式的能力

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3.3 公式法

版本： 湘教版

年級： 七年級下冊

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