1．了解三元一次方程組的概念；


2．掌握用代入法和加減法解三元一次方程組．(重點(diǎn)、難點(diǎn))





一、情境導(dǎo)入


設(shè)表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了三次，如圖所示，那么這三種物體的質(zhì)量分別為多少克？





二、合作探究


探究點(diǎn)一：三元一次方程組的解法


【類型一】 一般方程組的求解


解方程組：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x＋3y＝25①，,2x＋7y－3z＝19②，,3x＋2y－z＝18③.))


解析：先用加減消元法把方程②、③中z消去，得到一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程，然后和方程①聯(lián)立得方程組，求出x、y，再將x、y的值代入③求出z的值．


解：③×3－②得：7x－y＝35，變形后，代入①得：5x＋3(7x－35)＝25，解得x＝5；把x＝5代入①得：25＋3y＝25，y＝0；把x＝5，y＝0代入②得：2×5－3z＝19，解得z＝－3.原方程組的解為eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝0，,z＝－3.))


方法總結(jié)：解三元一次方程組的方法：①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；②然后解這個(gè)二元一次方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值；③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程；④解這個(gè)一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值；⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起即可．


【類型二】 對(duì)稱方程組的求解


解方程組：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,y＋z＝2，,z＋x＝3.))


解析：三個(gè)式子相加再除以2得：x＋y＋z＝3，用這個(gè)式子分別減去方程組中的每個(gè)方程，即可求得x、y、z的值，得到方程組的解．


解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1①，,y＋z＝2②，,z＋x＝3③，))①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝6，即x＋y＋z＝3④，④－①，得z＝2，④－②，得x＝1，④－③，得y＝0，∴方程組的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0，,z＝2.))


方法總結(jié)：解三元一次方程組時(shí)，如果方程組中的三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)未知數(shù)的系數(shù)和與其他未知數(shù)的系數(shù)和相同，可考慮把幾個(gè)方程相加，再除以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，然后把這個(gè)方程分別與每個(gè)方程相減即可．


探究點(diǎn)二：三元一次方程組的應(yīng)用


【類型一】 三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用


某單位職工在植樹節(jié)時(shí)去植樹，甲、乙、丙三個(gè)小組共植樹50株，乙組植樹的株數(shù)是甲、丙兩組的和的eq \f(1,4)，甲組植樹的株數(shù)恰是乙組與丙組的和，問每組各植樹多少株？


解析：題中有三個(gè)等量關(guān)系：①甲組植樹的株數(shù)＋乙組植樹的株數(shù)＋丙組植樹的株數(shù)＝50；②乙組植樹的株數(shù)＝(甲組植樹的株數(shù)＋丙組植樹的株數(shù))×eq \f(1,4)；③甲組植樹的株數(shù)＝乙組植樹的株數(shù)＋丙組植樹的株數(shù)．根據(jù)這三個(gè)等量關(guān)系可列出三元一次方程組，求出方程組的解即可．


解：設(shè)甲組植樹x株，乙組植樹y株，丙組植樹z株．由題意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝50，,y＝（x＋z）×\f(1,4)，,x＝y(tǒng)＋z，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝25，,y＝10，,z＝15.))


答：甲組植樹25株，乙組植樹10株，丙組植樹15株．


方法總結(jié)：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三組等量關(guān)系列出三元一次方程組，然后用代入消元法或加減消元法求出方程組的解．


【類型二】 利用三元一次方程組求值


已知關(guān)于x，y的二元一次方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3，,3x＋5y＝m＋2))的解滿足x＋y＝0，求m的值．


解析：把已知方程組與x＋y＝0組成三元一次方程組，再解之即可．


解：根據(jù)題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3，,3x＋5y＝m＋2，,x＋y＝0，))解這個(gè)方程組得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝3，,m＝4.))


方法總結(jié)：根據(jù)二元一次方程組的解求值，一般有兩種方法：一是直接組成三元一次方程組求解；二是把其中較簡單的兩個(gè)方程重新組成二元一次方程組，把求得的解代入另一個(gè)方程即可求得字母的值．


三、板書設(shè)計(jì)


三元一次方程組


1．三元一次方程組的解法：


加減消元法或代入消元法，化三“元”為二“元”．


2．三元一次方程組的應(yīng)用





本節(jié)課通過實(shí)例引入三元一次方程組，讓學(xué)生感悟三元一次方程組在實(shí)際生活中的應(yīng)用．解三元一次方程組的基本思想是消元，把三“元”轉(zhuǎn)化為二“元”，再把二“元”轉(zhuǎn)化為一“元”．消元的方法有兩種：加減消元法和代入消元法．教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)

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初中數(shù)學(xué)湘教版七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

1.4 三元一次方程組

版本： 湘教版

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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