1．理解方差的概念，會求一組數(shù)據(jù)的方差；(重點)


2．理解方差的統(tǒng)計意義和在具體問題中的實際意義．(難點)





一、情境導(dǎo)入


甲、乙兩支儀仗隊隊員的身高(單位：厘米)如下：


甲隊：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；


乙隊：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180.


為了達到最佳效果，希望選取一支身高比較整齊的儀仗隊參加某項慶祝活動，經(jīng)計算，兩支儀仗隊隊員的平均身高為178厘米，那么選取哪支儀仗隊呢？





二、合作探究


探究點一：方差


【類型一】 求一組數(shù)據(jù)的方差


已知一組數(shù)據(jù)：1，3，5，5，6，求這組數(shù)據(jù)的方差．


解析：先計算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用方差計算公式進行計算即可．


解：x＝eq \f(1,5)(1＋3＋5＋5＋6)＝eq \f(1,5)×20＝4，s2＝eq \f(1,5)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2×2＋(6－4)2]＝eq \f(1,5)×(9＋1＋2＋4)＝3.2.


方法總結(jié)：計算一組已知數(shù)據(jù)的方差，應(yīng)先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用方差公式s2＝eq \f(1,n)[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]進行計算．在計算方差時，要先計算平均數(shù)，因此，記憶方差的方法是：先平均、再作差、平方后、再平均．這12個字是對方差計算公式的最好注釋．


【類型二】 利用方差的意義求方差


如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是3，則另一組數(shù)據(jù)x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是( )


A．3 B．8 C．9 D．14


解析：方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，顯然數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的波動大小相同，因此它們的方差相等，所以數(shù)據(jù)x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是3，故選A.


方法總結(jié)：方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，一組數(shù)據(jù)同時加上(或減去)同一個數(shù)，方差不變．但是如果把一組數(shù)據(jù)同時乘(或除)同一個絕對值不等于1的數(shù)，方差會發(fā)生改變．


探究點二：方差的意義


甲、乙、丙、丁四人進行射箭測試，每人10次射箭成績的平均數(shù)都是8.9環(huán)，方差分別是seq \\al(2,甲)＝0.65，seq \\al(2,乙)＝0.55，seq \\al(2,丙)＝0.50，seq \\al(2,丁)＝0.45，則射箭成績最穩(wěn)定的是( )


A．甲 B．乙 C．丙 D．丁


解析：甲、乙、丙、丁四人中丁的方差最小，所以射箭成績最穩(wěn)定的是丁．故選D.


方法總結(jié)：本題考查了方差的意義，在平均數(shù)相同的情況下，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．


探究點三：利用方差進行決策


【類型一】 比較品種的整齊


為了比較甲、乙兩種水稻秧苗是否出苗整齊，每種秧苗各取5株并量出每株的長度如下表所示(單位：厘米)：


通過計算平均數(shù)和方差，評價哪個品種出苗更整齊．


解析：求出甲、乙的平均數(shù)、方差，根據(jù)平均數(shù)、方差的意義，進行比較可得出結(jié)論．


解：x甲＝(12＋13＋15＋15＋10)÷5＝13，x乙＝(13＋14＋16＋12＋10)÷5＝13，seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)[(12－13)2＋(13－13)2＋(15－13)2＋(15－13)2＋(10－13)2]＝3.6，seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)[(13－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2＋(12－13)2＋(10－13)2]＝4.∵seq \\al(2,甲)＜seq \\al(2,乙)，∴甲種水稻出苗更整齊．


方法總結(jié)：要比較兩個品種誰更整齊，首先應(yīng)比較它們的平均水平，如果平均水平相同，再看方差，方差越小越整齊．


【類型二】 質(zhì)量穩(wěn)定評估


為了了解市場上甲、乙兩種手表日走時誤差的情況，從這兩種手表中各隨機抽取10塊進行測試，兩種手表日走時誤差的數(shù)據(jù)如下(單位：秒)，你認(rèn)為甲、乙兩種手表中哪種手表走時穩(wěn)定性好？說說你的理由.


解析：根據(jù)題意，要比較兩種手表中哪種走時穩(wěn)定性好，需要計算兩種手表走時誤差的方差，所以先需求出甲、乙兩種手表日走時誤差的平均數(shù)，按平均數(shù)的求法求解即可，然后計算方差．


解：甲種手表走時穩(wěn)定性好，理由如下：x甲＝eq \f(1,10)(|－3|＋4＋2＋|－1|＋|－2|＋|－2|＋1＋|－2|＋2＋1)＝2，x乙＝eq \f(1,10)(|－4|＋1＋|－2|＋1＋4＋1＋|－2|＋|－1|＋|－2|＋|－2|)＝2，seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)[(2－3)2＋(2－4)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(2－1)2]＝0.8，seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)[(2－4)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－4)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－2)2]＝1.2.∵seq \\al(2,甲)＜seq \\al(2,乙)，∴甲種手表走時穩(wěn)定性好．


方法總結(jié)：要比較甲、乙兩種手表中哪種手表走時穩(wěn)定性好，需比較它們的方差，方差越小越穩(wěn)定．


【類型三】 確定比賽人選


為了從甲、乙兩名同學(xué)中選拔一個參加射擊比賽，對他們的射擊水平進行了測驗，兩人在相同條件下各射擊5次，命中的環(huán)數(shù)如下(單位：環(huán))：


為確保比賽時的水平能比較穩(wěn)定地發(fā)揮，應(yīng)選誰參加比賽？


解析：要選取能穩(wěn)定發(fā)揮的同學(xué)參加比賽，應(yīng)選取方差比較小的同學(xué)，所以應(yīng)先計算方差．


解：甲、乙兩人射擊成績的平均成績分別為x甲＝eq \f(1,5)(7×2＋8×2＋10×1)＝8，x乙＝eq \f(1,5)(7×1＋8×3＋9×1)＝8，seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)[2×(7－8)2＋2×(8－8)2＋(10－8)2]＝1.2，seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)[(7－8)2＋3×(8－8)2＋(9－8)2]＝0.4.∵seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，∴乙同學(xué)的射擊成績比較穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽．


方法總結(jié)：確定比賽人選時，要看制定的目標(biāo)，如果為了確保比賽時的水平能穩(wěn)定地發(fā)揮，則應(yīng)比較方差的大?。蝗绻麨榱藳_擊水平較高的金牌，一般可選取訓(xùn)練時單次水平最高的人參加．


三、板書設(shè)計


1．方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均值，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．


2．方差的計算：設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1，x2，x3，…，xn，平均數(shù)為x，則這組數(shù)據(jù)的方差為s2＝ SKIPIF 1 < 0 [(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]


3．方差的意義：一組數(shù)據(jù)的方差越小，說明這組數(shù)據(jù)離散或波動的程度就越小，這組數(shù)據(jù)也就越穩(wěn)定．


4．求方差的一般步驟：先求平均數(shù)，再求每個數(shù)與平均數(shù)的偏差，然后求偏差的平方，最后求偏差平方的平均值．





在教學(xué)過程中，通過情境引入，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念(方差)的生成過程．通過實例說明如何求一組數(shù)據(jù)的方差，引導(dǎo)學(xué)生得出求方差的一般步驟：先求平均數(shù)，再求每個數(shù)與平均數(shù)的偏差，然后求偏差的平方，最后求偏差平方的平均值．通過實際問題利用方差進行決策，既強化學(xué)生掌握方差的計算方法，又讓學(xué)生進一步理解方差的實際意義，這樣突出重點，突破難點編號
1
2
3
4
5
甲
12
13
15
15
10
乙
13
14
16
12
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲種
手表)
－3
4
2
－1
－2
－2
1
－2
2
1
乙種
手表)
－4
1
－2
1
4
1
－2
－1
－2
－2
命中環(huán)數(shù)
7
8
9
10
甲命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù)
2
2
0
1
乙命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù)
1
3
1
0

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6.2 方差

版本： 湘教版

年級： 七年級下冊

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