1．掌握等腰三角形的判定定理并學(xué)會運用；(重點)


2．理解并掌握反證法的思想，能夠運用反證法進行證明．











一、情境導(dǎo)入


某地質(zhì)專家為估測一條東西流向河流的寬度，選擇河流北岸上一棵樹(A點)為目標(biāo)，然后在這棵樹的正南方南岸B點插一小旗作標(biāo)志，沿南偏東60度方向走一段距離到C處時，測得∠ACB為30度，這時，地質(zhì)專家測得BC的長度是50米，就可知河流寬度是50米．





同學(xué)們，你們想知道這樣估測河流寬度的根據(jù)是什么嗎？他是怎么知道BC的長度是等于河流寬度的呢？今天我們就要學(xué)習(xí)等腰三角形的判定．


二、合作探究


探究點一：等腰三角形的判定(等角對等邊)


【類型一】 確定等腰三角形的個數(shù)





如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有( )


A．5個 B．4個


C．3個 D．2個


解析：共有5個．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，∴∠EBC＝eq \f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq \f(1,2)∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝eq \f(1,2)(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝eq \f(1,2)∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可證△CDE和△BCD也是等腰三角形．故選A.


方法總結(jié)：確定等腰三角形的個數(shù)要先找出相等的邊和相等的角，然后確定等腰三角形，再按順序不重不漏地數(shù)出等腰三角形的個數(shù)．


【類型二】 判定一個三角形是等腰三角形





如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．


解析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得∠CEF＝∠CFE，根據(jù)等角對等邊求得CE＝CF，從而求得△CEF是等腰三角形．


解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．


方法總結(jié)：“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立．


【類型三】 等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合運用





如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.


(1)求證：△DEF是等腰三角形；


(2)當(dāng)∠A＝50°時，求∠DEF的度數(shù)．


解析：(1)根據(jù)等邊對等角可得∠B＝∠C，利用“邊角邊”證明△BDE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝EF，再根據(jù)等腰三角形的定義證明即可；(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義求出∠B＝∠DEF.


(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BD＝CE，,∠B＝∠C，,BE＝CF，))∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；


(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝eq \f(1,2)×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.


方法總結(jié)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．


探究點二：反證法


【類型一】 假設(shè)


用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應(yīng)假設(shè)這個三角形中( )


A．有一個內(nèi)角大于60°


B．有一個內(nèi)角小于60°


C．每一個內(nèi)角都大于60°


D．每一個內(nèi)角都小于60°


解析：用反證法證明命題時，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論不成立，所以可先假設(shè)三角形中每一個內(nèi)角都不小于或等于60°，即都大于60°.故選C.


方法總結(jié)：在假設(shè)結(jié)論不成立時，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，必須把它全部否定．


【類型二】 用反證法證明一個命題


求證：△ABC中不能有兩個鈍角．


解析：用反證法證明，假設(shè)△ABC中能有兩個鈍角，得出的結(jié)論與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾，所以原命題正確．


證明：假設(shè)△ABC中能有兩個鈍角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，


所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，與三角形的內(nèi)角和為180°矛盾，所以假設(shè)不成立，因此原命題正確，即△ABC中不能有兩個鈍角．


方法總結(jié)：本題結(jié)合三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況．如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．





三、板書設(shè)計


1．等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊)．


2．反證法


(1)假設(shè)結(jié)論不成立；


(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；


(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．





解決幾何證明題時，應(yīng)結(jié)合圖形，聯(lián)想我們已學(xué)過的定義、公理、定理等知識，尋找結(jié)論成立所需要的條件．要特別注意的是，不要遺漏題目中的已知條件．解題時學(xué)會分析，可以采用執(zhí)果索因(從結(jié)論出發(fā)，探尋結(jié)論成立所需的條件)的方法.

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1 等腰三角形

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