第2課時 正弦與余弦








1．理解正弦與余弦的概念；(重點)


2．能用正弦、余弦的知識，根據三角形中已知的邊和角求出未知的邊和角．(難點)











一、情境導入


如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m，他的相對位置升高了5m.





如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？


在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分別移動了多少？


根據相似三角形的性質可知，當直角三角形的一個銳角的大小確定時，它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也就確定了．


二、合作探究


探究點：正弦和余弦


【類型一】 直接利用定義求正弦和余弦值


在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，csA.


解析：利用勾股定理求出AC，然后根據正弦和余弦的定義計算即可．


解：由勾股定理得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(132－52)＝12，sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13)，csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13).


方法總結：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，熟記三角函數的定義是解決問題的關鍵．


變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第1題


【類型二】 已知一個三角函數值求另一個三角函數值








如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)，求sinB的值．


解析：先由AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)及勾股定理求出AC及AB的長，再由銳角三角函數的定義解答．


解：∵AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝eq \r(AD2－CD2)＝eq \r(52－32)＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(42＋52)＝eq \r(41)，∴sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,\r(41))＝eq \f(4\r(41),41) .


方法總結：在不同的直角三角形中，要根據三角函數的定義，分清它們的邊角關系，結合勾股定理是解答此類問題的關鍵．


變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第8題


【類型三】 比較三角函數的大小


sin70°，cs70°，tan70°的大小關系是( )


A．tan70°＜cs70°＜sin70°


B．cs70°＜tan70°＜sin70°


C．sin70°＜cs70°＜tan70°


D．cs70°＜sin70°＜tan70°


解析：根據銳角三角函數的概念，知sin70°＜1，cs70°＜1，tan70°＞1.又cs70°＝sin20°，銳角的正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cs70°.故選D.


方法總結：當角度在0°

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初中數學北師大版九年級下冊電子課本

1 銳角三角函數

版本： 北師大版

年級： 九年級下冊

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