1．理解并掌握銳角正弦、余弦的定義，并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算；(重點(diǎn)、難點(diǎn))
2．在直角三角形中求正弦值、余弦值．(重點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入
牛莊打算新建一個(gè)水站，在選擇水泵時(shí)，必須知道水站(點(diǎn)A)與水面(BC)的高度(AB)．斜坡與水面所成的角(∠C)可以用量角器測出來，水管的長度(AC)也能直接量得．
你能求出它的高度(AB)嗎？
二、合作探究
探究點(diǎn)一：正弦的定義
【類型一】 求正弦值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值．
解析：先根據(jù)勾股定理求出b的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．
解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，
∴b＝eq \r(,c2－a2)＝eq \r(,52－32)＝4，
∴sinA＝eq \f(a,c)＝eq \f(3,5)，tanA＝eq \f(a,b)＝eq \f(3,4).
方法總結(jié)：解決這類問題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出直角三角形的其他邊的長，再利用銳角三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)的值．
【類型二】 已知銳角三角形的一個(gè)三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)的值
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(3,5)，則tanB的值為( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,4) D.eq \f(3,4)
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則sinA＝eq \f(a,c)，tanB＝eq \f(b,a)，a2＋b2＝c2；由sinA＝eq \f(3,5)知，若設(shè)a＝3x，則c＝5x.結(jié)合a2＋b2＝c2，得b＝4x.所以tanB＝eq \f(b,a)＝eq \f(4x,3x)＝eq \f(4,3).故選A.
方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是要正確地畫出草圖，根據(jù)條件將已知角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為直角三角形中兩邊的關(guān)系，利用勾股定理求出第三邊，然后計(jì)算出待求角的三角函數(shù)值．
探究點(diǎn)二：余弦的定義
【類型一】 求余弦值
如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則cs∠AOB＝________.
解析：如圖所示，連接AB，設(shè)每個(gè)小正方形網(wǎng)格邊長為1，則OA＝eq \r(,22＋42)＝2eq \r(5)，OB＝AB＝eq \r(,32＋12)＝eq \r(,10)，所以AB2＋OB2＝20，OA2＝20，AB2＋OB2＝OA2，故∠ABO＝90°，cs∠AOB＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(\r(,10),2\r(5))＝eq \f(\r(,2),2).
方法總結(jié)：在不知道角度的情況下，求銳角的三角函數(shù)值，應(yīng)先將其放置在直角三角形中，求出各邊的長，再根據(jù)概念解題．
【類型二】 構(gòu)造直角三角形求余弦值
如圖，已知點(diǎn)P在第一象限，其坐標(biāo)是(a，b)，則csα等于( )
A.eq \f(a,b) B.eq \f(b,a)
C.eq \f(a,\r(,a2＋b2)) D.eq \f(b,\r(,a2＋b2))
解析：圖中無直角三角形，需構(gòu)造直角三角形，然后結(jié)合勾股定理，利用銳角三角函數(shù)的定義求解．過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，如圖．在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，∴OP＝eq \r(,OH2＋PH2)＝eq \r(,a2＋b2)，∴csα＝eq \f(OH,OP)＝eq \f(a,\r(,a2＋b2)).故選C.
方法總結(jié)：也可以過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，注意點(diǎn)P(a，b)到x軸的距離是|b|，到y(tǒng)軸的距離是|a|，若點(diǎn)P不在第一象限，則要注意字母的符號．
三、板書設(shè)計(jì)
正弦和余弦eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正弦：sinA＝\f(∠A的對邊,斜邊)＝\f(BC,AB)＝\f(a,c),余弦：csA＝\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝\f(AC,AB)＝\f(b,c)))
注重學(xué)生對銳角正弦、余弦概念的理解．加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．培養(yǎng)學(xué)生熟練運(yùn)用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力．通過數(shù)學(xué)建模把一些實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，從而提高分析問題、解決問題的能力．

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23.1 銳角的三角函數(shù)

版本： 滬科版

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