1．了解正方形的有關(guān)概念，理解并掌握正方形的性質(zhì)和判定定理；(重點(diǎn))


2．會(huì)利用正方形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明．(難點(diǎn))





一、情境導(dǎo)入


如圖①所示，把可以活動(dòng)的矩形框架ABCD的BC邊平行移動(dòng)，使矩形的鄰邊AD，DC相等，觀察這時(shí)矩形ABCD的形狀．





如圖②所示，把可以活動(dòng)的菱形框架ABCD的∠A變?yōu)橹苯?，觀察這時(shí)菱形ABCD的形狀．





圖①中圖形的變化可判斷矩形ABCD→特殊的四邊形是什么四邊形？圖②中圖形變化可判斷菱形ABCD→特殊的四邊形是什么四邊形？經(jīng)過(guò)觀察，你發(fā)現(xiàn)既是矩形又是菱形的圖形是什么四邊形？


引入正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形．


注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一組鄰邊相等的矩形是正方形或有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．


二、合作探究


探究點(diǎn)一：正方形的性質(zhì)


【類型一】 利用正方形的性質(zhì)求角度


四邊形ABCD是正方形，△ADE是等邊三角形，求∠BEC的大?。?br/>

解析：等邊△ADE可以在正方形的內(nèi)部，也可以在正方形的外部，因此本題分兩種情況．


解：當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，


∴∠AEB＝15°.


同理可得∠DEC＝15°.


∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；





當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，


∴∠AEB＝75°.


同理可得∠DEC＝75°.


∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.


綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.


易錯(cuò)提醒：因?yàn)榈冗叀鰽DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．


【類型二】 利用正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)


如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長(zhǎng)．


解析：線段BE是Rt△ABE的一邊，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由條件可證△ABE≌△AFE，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求EF的長(zhǎng)，結(jié)合已知條件易求解．





解：∵四邊形ABCD為正方形，


∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.


∵EF⊥AC，


∴∠EFA＝∠EFC＝90°.


又∵∠ECF＝45°，


∴△EFC是等腰直角三角形，


∴EF＝FC.


∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，


∴△ABE≌△AFE，


∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.


∴FC＝BE.


在Rt△ABC中，


AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)(cm)，


∴FC＝AC－AF＝(eq \r(2)－1)cm，


∴BE＝(eq \r(2)－1)cm.


方法總結(jié)：正方形被對(duì)角線分成4個(gè)等腰直角三角形，因此在正方形中解決問(wèn)題時(shí)常用到等腰三角形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)．


【類型三】 利用正方形的性質(zhì)證明線段相等


如圖，已知過(guò)正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F.求證：AP＝EF.


解析：由PE⊥BC，PF⊥CD知四邊形PECF為矩形，故有EF＝PC，這時(shí)只需說(shuō)明AP＝CP，由正方形對(duì)角線互相垂直平分可知AP＝CP.





證明：連接AC，PC.


∵四邊形ABCD為正方形，


∴BD垂直平分AC，


∴AP＝CP.


∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，


∴四邊形PECF為矩形，


∴PC＝EF，∴AP＝EF.


方法總結(jié)：(1)在正方形中，常利用對(duì)角線互相垂直平分證明線段相等；(2)無(wú)論是正方形還是矩形，經(jīng)常連接對(duì)角線，這樣可以使分散的條件集中．


探究點(diǎn)二：正方形的判定


【類型一】 先證明是矩形再證明是正方形





已知：如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：四邊形CEDF是正方形．


解析：欲證明四邊形CEDF是正方形，先根據(jù)∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，證明四邊形CEDF是矩形，再證明一組鄰邊相等即可．





證明：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G.


∵DF⊥AC，DE⊥BC，


∴∠DFC＝∠DEC＝90°.


又∵∠C＝90°，


∴四邊形CEDF是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)．


∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，


∴DF＝DG.


同理可得DE＝DG，∴DE＝DF.


∴四邊形CEDF是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)．


方法總結(jié)：正方形的判定方法有很多，可以先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等．


【類型二】 先證明是菱形再證明是正方形


如圖，EG，F(xiàn)H過(guò)正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O，且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形．


解析：已知EG⊥FH，要證四邊形EFGH為正方形，則只需要證四邊形的對(duì)角線EG，HF互相平分且相等即可，根據(jù)題意可通過(guò)三角形全等來(lái)證OE＝OH＝OG＝OF.





證明：∵四邊形ABCD為正方形，


∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH.


∵EG⊥FH，


∴∠BOE＋∠BOH＝90°，


∴∠COH＝∠BOE，


∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH.


同理可證：OE＝OF＝OG，


∴OE＝OF＝OG＝OH.


又∵EG⊥FH，


∴四邊形EFGH為菱形．


∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF，


∴四邊形EFGH為正方形．


方法總結(jié)：對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．


探究點(diǎn)三：正方形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用





已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF＝BP＝CQ＝DE.


求證：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；


(2)四邊形EFPQ是正方形．


解析：(1)證明△APF≌△DFE≌△CEQ


≌△BQP，即可證得EF＝FP＝PQ＝QE；(2)由EF＝FP＝PQ＝QE，可判定四邊形EFPQ是菱形．又由△APF≌△BQP，易得∠FPQ＝90°，即可證得四邊形EFPQ是正方形．





證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，


∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP.在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AF＝DE＝CQ＝BP，,∠A＝∠D＝∠C＝∠B，,AP＝DF＝CE＝BQ，))


∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌


△BQP(SAS)，


∴EF＝FP＝PQ＝QE；


∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四邊形EFPQ是菱形．∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ.∵∠AFP＋∠APF＝90°，


∴∠APF＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四邊形EFPQ是正方形．


方法總結(jié)：此題考查了正方形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意解題的關(guān)鍵是證得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.


探究點(diǎn)四：正方形、菱形、矩形與平行四邊形的綜合運(yùn)用


如圖，△ABC中，點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線EF∥BC，交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角∠ACD平分線于點(diǎn)F.





(1)請(qǐng)說(shuō)明：PE＝PF；


(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？為什么？


(3)在(2)的條件下，△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？為什么？


(4)當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BEFC可能是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．


解：(1)∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.∵EF∥BC，∴∠E＝∠1，∴∠E＝∠2，∴EP＝PC.同理PF＝PC，∴EP＝PF；


(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．∵PA＝PC，PE＝PF，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵∠ECF＝eq \f(1,2)∠BCD＝90°，∴平行四邊形AECF是矩形；


(3)當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，四邊形AECF是正方形．∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵EF∥BC，∴AC⊥EF，∴平行四邊形AECF是正方形；


(4)四邊形BECF不可能是菱形．∵∠ECF＝90°，∴EF>CF，∴四邊形BECF不可能是菱形．


三、板書(shū)設(shè)計(jì)








經(jīng)歷正方形性質(zhì)和判定的探索過(guò)程，發(fā)展學(xué)生初步的綜合推理能力，主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，逐步掌握說(shuō)理的基本方法．理解特殊的平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證看問(wèn)題的觀點(diǎn).

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