最新考綱
考情考向分析
1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.
2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線(xiàn)、圓和橢圓的參數(shù)方程.
了解參數(shù)的意義，重點(diǎn)考查直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及圓、橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，往往與極坐標(biāo)結(jié)合考查.在高考選做題中以解答題形式考查，難度為中檔.



1.參數(shù)方程和普通方程的互化
(1)曲線(xiàn)的參數(shù)方程和普通方程是曲線(xiàn)方程的不同形式.一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程.
(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線(xiàn)的參數(shù)方程.
2.常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程和普通方程
點(diǎn)的軌跡
普通方程
參數(shù)方程
直線(xiàn)
y－y0＝tan α(x－x0)
(t為參數(shù))
圓
x2＋y2＝r2
(θ為參數(shù))
橢圓
＋＝1(a>b>0)
(φ為參數(shù))
拋物線(xiàn)
y2＝2px(p>0)
(t為參數(shù))

概念方法微思考
1.在直線(xiàn)的參數(shù)方程(t為參數(shù))中，
(1)t的幾何意義是什么？
(2)如何利用t的幾何意義求直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)P1，P2的距離？
提示　(1)t表示在直線(xiàn)上過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)與直線(xiàn)上的任一點(diǎn)P(x，y)構(gòu)成的有向線(xiàn)段P0P的數(shù)量.
(2)|P1P2|＝|t1－t2|＝.
2.圓的參數(shù)方程中參數(shù)θ的幾何意義是什么？
提示　θ的幾何意義為該圓的圓心角.

題組一　思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù).(　√　)
(2)方程(θ為參數(shù))表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.(　√　)
(3)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t＝，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線(xiàn)OM的斜率為.(　×　)
題組二　教材改編
2.曲線(xiàn)(θ為參數(shù))的對(duì)稱(chēng)中心(　　)
A.在直線(xiàn)y＝2x上 B.在直線(xiàn)y＝－2x上 C.在直線(xiàn)y＝x－1上 D.在直線(xiàn)y＝x＋1上
答案　B
解析　由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲線(xiàn)是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對(duì)稱(chēng)中心為(－1,2)，在直線(xiàn)y＝－2x上.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線(xiàn)l：
(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，求常數(shù)a的值.
解　直線(xiàn)l的普通方程為x－y－a＝0，
橢圓C的普通方程為＋＝1，
∴橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，若直線(xiàn)l過(guò)(3,0)，
則3－a＝0，∴a＝3.
題組三　易錯(cuò)自糾
4.直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線(xiàn)l的斜率.
解　將直線(xiàn)l的參數(shù)方程化為普通方程為
y－2＝－3(x－1)，因此直線(xiàn)l的斜率為－3.
5.設(shè)P(x，y)是曲線(xiàn)C：(θ為參數(shù)，θ∈[0,2π))上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.
解　由曲線(xiàn)C：(θ為參數(shù))，
得(x＋2)2＋y2＝1，表示圓心為(－2,0)，半徑為1的圓.
表示的是圓上的點(diǎn)和原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，設(shè)＝k，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y＝kx和圓有交點(diǎn)的問(wèn)題，即圓心到直線(xiàn)的距離d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，
所以的取值范圍為.
6.已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2cos θ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).
(1)求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P(m,0)，若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|·|PB|＝1，求實(shí)數(shù)m的值.
解　(1)曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2cos θ，
化為ρ2＝2ρcos θ，可得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0.
直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，
消去參數(shù)t可得x＝y(tǒng)＋m，
即直線(xiàn)l的普通方程為y－x＋m＝0.
(2)把(t為參數(shù))代入方程x2＋y2＝2x，
化為t2＋(m－)t＋m2－2m＝0， ①
由Δ>0，解得－10且λ≠1)，P點(diǎn)的軌跡是圓.”這個(gè)圓我們稱(chēng)之為“阿波羅尼奧斯圓”.已知點(diǎn)M與長(zhǎng)度為3的線(xiàn)段OA兩端點(diǎn)的距離之比為＝，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出M點(diǎn)的軌跡方程并化為參數(shù)方程.
解　由題意，以O(shè)A所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)O點(diǎn)作OA的垂線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)M(x，y)，則O(0,0)，A(3,0).
因?yàn)椋?，即＝?br /> 化簡(jiǎn)得(x＋1)2＋y2＝4，
所以點(diǎn)M的軌跡是以(－1,0)為圓心，2為半徑的圓.
由圓的參數(shù)方程可得
思維升華 消去參數(shù)的方法一般有三種
(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入消去參數(shù).
(2)利用三角恒等式消去參數(shù).
(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).
將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.
題型二　參數(shù)方程的應(yīng)用
例1 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；
(2)若曲線(xiàn)C截直線(xiàn)l所得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率.
解　(1)曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1.
當(dāng)cos α≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為
y＝tan α·x＋2－tan α，
當(dāng)cos α＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1.
(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0. ①
因?yàn)榍€(xiàn)C截直線(xiàn)l所得線(xiàn)段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，
所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，
于是直線(xiàn)l的斜率k＝tan α＝－2.
思維升華 (1)解決直線(xiàn)與橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系來(lái)解決.
(2)對(duì)于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題.
跟蹤訓(xùn)練1 已知橢圓C：＋＝1，直線(xiàn)l：(t為參數(shù)).
(1)寫(xiě)出橢圓C的參數(shù)方程及直線(xiàn)l的普通方程；
(2)設(shè)A(1,0)，若橢圓C上的點(diǎn)P滿(mǎn)足到點(diǎn)A的距離與到直線(xiàn)l的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解　(1)橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，
直線(xiàn)l的普通方程為x－y＋9＝0.
(2)設(shè)P(2cos θ，sin θ)，
則|AP|＝＝2－cos θ，
P到直線(xiàn)l的距離
d＝＝.
由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，
又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－.
故P.
題型三　極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用
例2 (2017·全國(guó)Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線(xiàn)l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線(xiàn)C.
(1)寫(xiě)出C的普通方程；
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑.
解　(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2).
設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得
消去k得x2－y2＝4(y≠0).
所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0).
(2)C的極坐標(biāo)方程為
ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0

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