2020版高考數(shù)學（文）新增分大一輪人教通用版講義：第十一章　概率高考專題突破六-學案下載-教習網(wǎng)

題型一　古典概型與幾何概型
例1 (1)若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[0，e]上隨機取一個實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是(　　)
A. B．1－ C. D.
答案　B
解析　當0≤xb2.由題意知所有的基本事件有9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．
滿足a2>b2的有6個基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，
所以所求事件的概率為＝.
(2)如圖所示，正方形BCDE和正方形ABFG的邊長分別為2a和a，連接CE和CG，現(xiàn)將一把芝麻隨機地撒在該圖形中，則芝麻落在陰影部分的概率是(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　設題圖中陰影部分的面積是S，則S＝S正方形ABFG＋S△BCE－S△AGC，∵S正方形ABFG＝a2，S△BCE＝×2a×2a＝2a2，S△AGC＝(a＋2a)×a＝a2，∴S＝a2，又整體區(qū)域的面積為5a2，∴芝麻落在陰影部分的概率是＝，故選A.
題型二　概率與統(tǒng)計的綜合應用
例2 (2016·全國Ⅰ)某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖．

記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)．
(1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式；
(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？
解　(1)當x≤19時，y＝3 800；
當x>19時，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700.
所以y與x的函數(shù)解析式為
y＝(x∈N)．
(2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.
(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3 800,20臺的費用為4 300,10臺的費用為4 800，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為
(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000；
若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4 000,10臺的費用為4 500，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為
(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.
比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機器的同時應購買19個易損零件．
思維升華概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性．
跟蹤訓練2 某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中實數(shù)a的值；
(2)若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)；
(3)若從數(shù)學成績在[40,50)與[90,100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率．
解　(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.030.
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，可知成績不低于60分的頻率為1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于該校高一年級共有學生640人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)為640×0.85＝544.
(3)易知成績在[40,50)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05＝2，這2人分別記為A，B；成績在[90,100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1＝4，這4人分別記為C，D，E，F(xiàn).若從數(shù)學成績在[40,50)與[90,100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，則所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15個．如果2名學生的數(shù)學成績都在[40,50)分數(shù)段內(nèi)或都在[90,100]分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定不大于10.如果一個成績在[40,50)分數(shù)段內(nèi)，另一個成績在[90,100]分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定大于10.記“這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共7個，故所求概率P(M)＝.
題型三　概率與統(tǒng)計案例的綜合應用
例3　某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

喜歡甜品
不喜歡甜品
合計
南方學生
60
20
80
北方學生
10
10
20
合計
70
30
100

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；
(2)已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．
附：
P(χ2≥k0)
0.100
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635

χ2＝.
解　(1)將2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算，得
χ2＝＝≈4.762.
由于4.762>3.841，所以有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”．
(2)設這5名數(shù)學系的學生喜歡甜品的為a1，a2，不喜歡甜品的為b1，b2，b3，從5名數(shù)學系的學生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間
Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．
Ω由10個基本事件組成，且這些基本事件出現(xiàn)是等可能的．
用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}，A由7個基本事件組成，因而P(A)＝.
思維升華統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應的概率計算對應起來，只有這樣才能有效地解決問題．
跟蹤訓練3 某校計劃面向高一年級1 200名學生開設校本選修課程，為確保工作的順利實施，先按性別進行分層抽樣，抽取了180名學生對社會科學類、自然科學類這兩大類校本選修課程進行選課意向調(diào)查，其中男生有105人．在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45人．
(1)分別計算抽取的樣本中男生、女生選擇社會科學類的頻率，并以統(tǒng)計的頻率作為概率，估計實際選課中選擇社會科學類的學生人數(shù)；
(2)根據(jù)抽取的180名學生的調(diào)查結(jié)果，完成以下2×2列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關(guān)？

選擇自然科學類
選擇社會科學類
合計
男生

女生

合計

附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k0)
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(χ2≥k0)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解　(1)由條件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生選擇社會科學類的頻率為＝，
女生選擇社會科學類的頻率為＝.
由題意，知男生總數(shù)為1 200×＝700，
女生總數(shù)為1 200×＝500，
所以估計選擇社會科學類的人數(shù)為
700×＋500×＝600.
(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下：

選擇自然科學類
選擇社會科學類
總計
男生
60
45
105
女生
30
45
75
總計
90
90
180

則χ2＝＝≈5.142 9>5.024，
所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下能認為科類的選擇與性別有關(guān)．

1．在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的所有格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點)中任取3個點，則該3點恰能作為一個三角形的3個頂點的概率為________．
答案　
解析　不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的格點有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5個，從中任取3個點，有10種取法，其中共線的3點不能構(gòu)成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3) 1種情況，所以能夠作為三角形3個頂點的情況有9種，故所求概率是.
2.如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形，且直角三角形中較小的銳角θ＝.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是________．

答案　
解析　易知小正方形的邊長為－1，故小正方形的面積為S1＝(－1)2＝4－2，
又大正方形的面積為S＝2×2＝4，故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P＝＝＝.
3．(2018·大連模擬)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；
(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80的為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？
P(χ2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828

附：χ2＝.
解　(1)由已知得，樣本中有25周歲以上(含25周歲)組工人60名，25周歲以下組工人40名．
所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中，25周歲以上(含25周歲)組工人有60×0.005×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；25周歲以下組工人有40×0.005×10＝2(人)，記為B1，B2.
從中隨機抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，它們是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上(含25周歲)組”中的生產(chǎn)能手有60×(0.02＋0.005)×10＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×(0.032 5＋0.005)×10＝15(人)，
據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

生產(chǎn)能手
非生產(chǎn)能手
總計
25周歲以上(含25周歲)組
15
45
60
25周歲以下組
15
25
40
總計
30
70
100

所以得χ2＝
＝＝≈1.79.
因為1.7983＋83＋87＋90＋a＋99，
得a