2020版高考數(shù)學(xué)（文）新增分大一輪人教通用版講義：第十二章系列4選講12.2第2課時(shí)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

最新考綱
考情考向分析
通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.
主要考查用比較法、綜合法、分析法證明不等式，題型為解答題，中檔難度.

1.比較法
(1)作差比較法
知道a>b?a－b>0，a0即可，這種方法稱為作差比較法.
(2)作商比較法
由a>b>0?>1且a>0，b>0，因此當(dāng)a>0，b>0時(shí)，要證明a>b，只要證明>1即可，這種方法稱為作商比較法.
2.綜合法
從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫做綜合法，即“由因?qū)Ч钡姆椒?
3.分析法
從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫做分析法，即“執(zhí)果索因”的方法.
4.反證法
先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立.
5.放縮法
證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的.
概念方法微思考
1.綜合法與分析法有何內(nèi)在聯(lián)系？
提示　綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚，當(dāng)問題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達(dá)整個證明過程.
2.分析法的過程中為什么要使用“要證”，“只需證”這樣的連接“關(guān)鍵詞”？
提示　因?yàn)椤耙C”“只需證”這些詞說明了分析法需要尋求的是充分條件，符合分析法的思維是逆向思維的特點(diǎn)，因此在證題時(shí)，這些詞是必不可少的.

題組一　思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，≥.(　√　)
(2)用反證法證明命題“a，b，c全為0”的假設(shè)為“a，b，c全不為0”.(　×　)
(3)若實(shí)數(shù)x，y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.(　√　)
(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，則n≥m.(　√　)
題組二　教材改編
2.已知a，b∈R＋，a＋b＝2，則＋的最小值為(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
答案　B
解析　因?yàn)閍，b∈R＋，且a＋b＝2，
所以(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
所以＋≥＝2，即＋的最小值為2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，“＝”成立).故選B.
3.若a，b，m∈R＋，且a>b，則下列不等式一定成立的是(　　)
A.≥ B.>
C.≤ D.
b.
所以－＝>0，即>，故選B.
題組三　易錯自糾
4.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反證法求證a>0，b>0，c>0時(shí)的反設(shè)為(　　)
A.a1，x＝a＋，y＝b＋，則x與y的大小關(guān)系是(　　)
A.x>y B.xb>1，得ab>1，a－b>0，
所以>0，即x－y>0，所以x>y.故選A.
6.若a＝－，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b
答案　A
解析　“分子”有理化得a＝，b＝，
c＝，∴a>b>c.

題型一　用綜合法與分析法證明不等式
例1 (1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x＋≥2y＋3；
(2)設(shè)a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b＋c≥.
證明　(1)因?yàn)閤>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3(當(dāng)且僅當(dāng)x－y＝1時(shí)，等號成立)，
所以2x＋≥2y＋3.
(2)因?yàn)閍，b，c>0，
所以要證a＋b＋c≥，
只需證明(a＋b＋c)2≥3.
即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需證明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，
即證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而ab＋bc＋ca≤＋＋
＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號成立)成立，
所以原不等式成立.
思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野.
跟蹤訓(xùn)練1 (2017·全國Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
證明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)
＝2＋(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號)，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
題型二　放縮法證明不等式
例2 (1)設(shè)a>0，