最新考綱
考情考向分析
1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義．
2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.
了解參數(shù)的意義，重點考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及圓、橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，往往與極坐標結合考查．在高考選做題中以解答題形式考查，難度為中檔.



1．參數(shù)方程和普通方程的互化
(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程．
(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程．
2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程
點的軌跡
普通方程
參數(shù)方程
直線
y－y0＝tan α(x－x0)
(t為參數(shù))
圓
x2＋y2＝r2
(θ為參數(shù))
橢圓
＋＝1(a>b>0)
(φ為參數(shù))
拋物線
y2＝2px(p>0)
(t為參數(shù))

概念方法微思考
1．在直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))中，
(1)t的幾何意義是什么？
(2)如何利用t的幾何意義求直線上任意兩點P1，P2的距離？
提示　(1)t表示在直線上過定點P0(x0，y0)與直線上的任一點P(x，y)構成的有向線段P0P的數(shù)量．
(2)|P1P2|＝|t1－t2|＝.
2．圓的參數(shù)方程中參數(shù)θ的幾何意義是什么？
提示　θ的幾何意義為該圓的圓心角．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)．(　√　)
(2)方程(θ為參數(shù))表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．(　√　)
(3)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為.(　×　)
題組二　教材改編
2．曲線(θ為參數(shù))的對稱中心(　　)
A．在直線y＝2x上 B．在直線y＝－2x上
C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上
答案　B
解析　由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲線是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對稱中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上．
3．在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點，求常數(shù)a的值．
解　直線l的普通方程為x－y－a＝0，
橢圓C的普通方程為＋＝1，
∴橢圓C的右頂點坐標為(3,0)，若直線l過(3,0)，
則3－a＝0，∴a＝3.
題組三　易錯自糾
4．直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線l的斜率．
解　將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為
y－2＝－3(x－1)，因此直線l的斜率為－3.
5．設P(x，y)是曲線C：(θ為參數(shù)，θ∈[0,2π))上任意一點，求的取值范圍．
解　由曲線C：(θ為參數(shù))，
得(x＋2)2＋y2＝1，表示圓心為(－2,0)，半徑為1的圓．
表示的是圓上的點和原點連線的斜率，設＝k，則原問題轉(zhuǎn)化為y＝kx和圓有交點的問題，即圓心到直線的距離d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，
所以的取值范圍為.
6．已知曲線C的極坐標方程是ρ＝2cos θ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
(2)設點P(m,0)，若直線l與曲線C交于A，B兩點，且|PA|·|PB|＝1，求實數(shù)m的值．
解　(1)曲線C的極坐標方程是ρ＝2cos θ，
化為ρ2＝2ρcos θ，可得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.
直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，
消去參數(shù)t可得x＝y(tǒng)＋m，
即直線l的普通方程為y－x＋m＝0.
(2)把(t為參數(shù))代入方程x2＋y2＝2x，
化為t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，①
由Δ>0，解得－10且λ≠1)，P點的軌跡是圓．”這個圓我們稱之為“阿波羅尼奧斯圓”．已知點M與長度為3的線段OA兩端點的距離之比為＝，建立適當坐標系，求出M點的軌跡方程并化為參數(shù)方程．
解　由題意，以OA所在直線為x軸，過O點作OA的垂線為y軸，建立直角坐標系，
設M(x，y)，則O(0,0)，A(3,0)．
因為＝，即＝，
化簡得(x＋1)2＋y2＝4，
所以點M的軌跡是以(－1,0)為圓心，2為半徑的圓．
由圓的參數(shù)方程可得
思維升華 消去參數(shù)的方法一般有三種
(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式，然后代入消去參數(shù)．
(2)利用三角恒等式消去參數(shù)．
(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結構特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù)．
將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍．
題型二　參數(shù)方程的應用
例1 在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．
(1)求C和l的直角坐標方程；
(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率．
解　(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1.
當cos α≠0時，l的直角坐標方程為y＝tan α·x＋2－tan α，
當cos α＝0時，l的直角坐標方程為x＝1.
(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，
所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直線l的斜率k＝tan α＝－2.
思維升華 (1)解決直線與橢圓的參數(shù)方程的應用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與橢圓的位置關系來解決．
(2)對于形如(t為參數(shù))，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題．
跟蹤訓練1 (2017·全國Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．
(1)若a＝－1，求C與l的交點坐標；
(2)若C上的點到l的距離的最大值為，求a.
解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1.
當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0.
由
解得或
從而C與l的交點坐標是(3,0)，.
(2)直線l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為d＝.
當a≥－4時，d的最大值為.
由題設得＝，所以a＝8；
當a

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