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考情考向分析
1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.
2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).
橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)通常以小題形式考查，直線與橢圓的位置關(guān)系主要出現(xiàn)在解答題中.題型主要以選擇、填空題為主，一般為中檔題，橢圓方程的求解經(jīng)常出現(xiàn)在解答題的第一問.



1.橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a>c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若ab>0)
＋＝1
(a>b>0)
圖形


性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸　　對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)坐標(biāo)
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
a2＝b2＋c2

概念方法微思考
1.在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a0，m≠n)表示的曲線是橢圓.(　√　)
(3)＋＝1(a≠b)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.(　×　)
(4)＋＝1(a>b>0)與＋＝1(a>b>0)的焦距相等.(　√　)
題組二　教材改編
2.橢圓＋＝1的焦距為4，則m等于(　　)
A.4 B.8
C.4或8 D.12
答案　C
解析　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
3.過點(diǎn)A(3，－2)且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由題意知c2＝5，可設(shè)橢圓方程為＋＝1(λ>0)，則＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求橢圓的方程為＋＝1.
4.已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________________.
答案　或
解析　設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0).
由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為或.
題組三　易錯(cuò)自糾
5.若方程＋＝1表示橢圓，則m的取值范圍是(　　)
A.(－3,5) B.(－5,3)
C.(－3,1)∪(1,5) D.(－5,1)∪(1,3)
答案　C
解析　由方程表示橢圓知
解得－30)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　∵△AF1B的周長為4，∴4a＝4，
∴a＝，∵離心率為，∴c＝1，
∴b＝＝，∴橢圓C的方程為＋＝1.
故選A.

第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)
題型一　橢圓的定義及應(yīng)用
1.如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是(　　)

A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.圓
答案　A
解析　由條件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓.
2.過橢圓4x2＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則A與B和橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的△ABF2的周長為(　　)
A.2 B.4
C.8 D.2
答案　B
解析　橢圓方程變形為＋＝1，
∴橢圓長軸長2a＝2，∴△ABF2的周長為4a＝4.
3.橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|等于(　　)
A. B.
C. D.4
答案　A
解析　F1(－，0)，∵PF1⊥x軸，
∴P，∴|PF1|＝，
∴|PF2|＝4－＝.
4.(2018·鞍山調(diào)研)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為________.
答案　－5
解析　由橢圓的方程可知F2(3,0)，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取得等號，又|MF2|＝＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5.
思維升華 橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.
(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.

題型二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

命題點(diǎn)1　定義法
例1 (1)已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由題意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝2，∴點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝，c＝1，∴b＝，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1，故選D.
(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案　A
解析　由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，頂點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓(A，B，C不共線).設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)，則a＝5，c＝4，從而b＝3.由A，B，C不共線知y≠0.故頂點(diǎn)C的軌跡方程是＋＝1(y≠0).


命題點(diǎn)2　待定系數(shù)法
例2 (1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，(，)，則橢圓方程為__________.
答案　＋＝1
解析　設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝.
∴橢圓方程為＋＝1.
(2)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為________________.
答案　＋＝1
解析　∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，∴可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，∵P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，
∴又a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝，c＝，
∴橢圓方程為＋＝1.
思維升華 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程多采用定義法和待定系數(shù)法.
(2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且橢圓G上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　依題意設(shè)橢圓G的方程為＋＝1(a>b>0)，∵橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12，∴2a＝12，∴a＝6，∵橢圓的離心率為，∴e＝＝＝，即 ＝，解得b2＝9，∴橢圓G的方程為＋＝1，故選A.
(2)過點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.
答案　＋＝1
解析　∵所求橢圓與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，
∴其焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝25－9＝16.
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0).
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，
∴＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

題型三　橢圓的幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)1　求離心率的值(或范圍)
例3 (1)(2018·通遼模擬)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　方法一　如圖，

在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，
|PF2|＝2c·tan 30°＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
即＋＝2a，可得c＝a.
∴e＝＝.
方法二　(特殊值法)：
在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.
∴e＝＝＝.
(2)橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　設(shè)P(x，y)，則|OP|2＝x2＋y2＝，
由橢圓定義得，|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，
∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，
則|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，
∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，
整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，
即＋5c2＝2a2，整理得＝，
∴橢圓的離心率e＝＝.
(3)已知橢圓＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是__________.
答案　
解析　因?yàn)閨PT|＝(b>c)，
而|PF2|的最小值為a－c，
所以|PT|的最小值為.
依題意，有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0. ①
又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e20)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使＝，求該橢圓的離心率的取值范圍.
解　由＝得＝.
又由正弦定理得＝，所以＝，即|PF1|＝|PF2|.
又由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因?yàn)镻F2是△PF1F2的一邊，
所以有2c－0(0

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