2020版高考數(shù)學（文）新增分大一輪人教通用版講義：第七章　不等式、推理與證明7.6-學案下載-教習網(wǎng)

最新考綱
考情考向分析
1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點．
2.了解反證法的思考過程和特點.
常以立體幾何中的證明及相關選修內(nèi)容中平面幾何，不等式的證明為載體加以考查，注意提高分析問題、解決問題的能力；在高考中主要以解答題的形式考查，難度為中檔.

1．直接證明
內(nèi)容
綜合法
分析法
定義
從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達到待證結(jié)論的方法，是一種從原因推導到結(jié)果的思維方法
從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達到題設的已知條件或已被證明的事實的方法，是一種從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法
特點
從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的必要條件
從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件
步驟的符號表示
P0(已知)?P1?P2?P3?P4(結(jié)論)
B(結(jié)論)?B1?B2…?Bn?A(已知)

2.間接證明
(1)反證法的定義：
一般地，由證明p?q轉(zhuǎn)向證明
綈q?r?…?t
t與假設矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法．
(2)應用反證法證明數(shù)學命題的一般步驟：
①分清命題的條件和結(jié)論；
②做出與命題結(jié)論相矛盾的假定；
③由假定出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；
④斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真．
概念方法微思考
1．直接證明中的綜合法是演繹推理嗎？
提示　是．用綜合法證明時常省略大前提．
2．綜合法與分析法的推理過程有何區(qū)別？
提示　綜合法是執(zhí)因索果，分析法是執(zhí)果索因，推理方式是互逆的．
3．反證法是“要證原命題成立，只需證其逆否命題成立”的推理方法嗎？
提示　不是．反證法是命題中“p與綈p”關系的應用．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明．(　×　)
(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．(　×　)
(3)用反證法證明結(jié)論“a>b”時，應假設“a0，Q>0，∴P>Q.
3．設實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項，則＋等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
答案　B
解析　由題意，得x＝，y＝，b2＝ac，
∴xy＝，
＋＝＝
＝＝
＝＝
＝＝2.
題組三　易錯自糾
4．若a，b，c為實數(shù)，且a
答案　B
解析　a2－ab＝a(a－b)，
∵a0，∴ab>b2，②
由①②得a2>ab>b2.
5．用反證法證明命題：“設a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要作的假設是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根
答案　A
解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根，故選A.
6．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為________．
答案　等邊三角形
解析　由題意得2B＝A＋C，
∵A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴A＝C，∴A＝B＝C＝，
∴△ABC為等邊三角形.

題型一　綜合法的應用
例1 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求證：
(1)＋＋≤；
(2)＋＋≥.
證明　(1)∵(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，
∴＋＋≤(當且僅當a＝b＝c時取等號)．
(2)∵a>0，∴3a＋1>1，
∴＋(3a＋1)≥2＝4，
∴≥3－3a，
同理得≥3－3b，≥3－3c，
以上三式相加得
4≥9－3(a＋b＋c)＝6，
∴＋＋≥(當且僅當a＝b＝c＝時取等號)．
思維升華 (1)從已知出發(fā)，逐步推理直到得出所證結(jié)論的方法為綜合法；(2)計算題的計算過程也是根據(jù)已知的式子進行逐步推導的過程，也是使用的綜合法．

跟蹤訓練1 設Tn是數(shù)列{an}的前n項之積，并滿足：Tn＝1－an.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)令bn＝，證明：{bn}的前n項和Sn0，a＋≥2顯然成立
，
所以要證的不等式成立．
題型三　反證法的應用
例3 設a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a0，得ab＝1.
(1)由均值不等式及ab＝1，
有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，當且僅當a＝b＝1時，等號成立．
(2)假設a2＋a－x2，f(x1)1.
其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是(　　)
A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤
答案　C
解析　若a＝，b＝，則a＋b>1，
但a1，故⑤推不出；
對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1，
下面用反證法證明：
假設a≤1且b≤1，
則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，
因此假設不成立，a，b中至少有一個大于1.
6．用反證法證明“若x2－1＝0，則x＝－1或x＝1”時，應假設________．
答案　x≠－1且x≠1
解析　“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
7．如果a＋b>a＋b成立，則a，b應滿足的條件是__________________________．
答案　a≥0，b≥0且a≠b
解析　∵a＋b－(a＋b)
＝(a－b)＋(b－a)
＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴當a≥0，b≥0且a≠b時，(－)2(＋)>0.
∴a＋b>a＋b成立的條件是a≥0，b≥0且a≠b.
8．已知點An(n，an)為函數(shù)y＝圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點，其中n∈N＋，設cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關系為____________．
答案　cn＋10，如果不等式＋≥恒成立，則m的最大值為________．
答案　9
解析　因為a>0，b>0，所以2a＋b>0.
所以不等式可化為m≤(2a＋b)
＝5＋2.
因為5＋2≥5＋4＝9，當且僅當a＝b時，等號成立，
即其最小值為9，所以m≤9，即m的最大值等于9.
10．在不等邊三角形ABC中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應滿足________．
答案　a2>b2＋c2
解析　由余弦定理cos A＝lg a＋lg b＋lg c.
證明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥ >0，≥ >0，≥ >0.
由于a，b，c是不全相等的正數(shù)，
∴上述三個不等式中等號不能同時成立，
∴··>abc>0成立．
上式兩邊同時取常用對數(shù)，得
lg>lg abc，
∴l(xiāng)g＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.
12．若f(x)的定義域為[a，b]，值域為[a，b](a－2)，使函數(shù)h(x)＝是區(qū)間[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．
解　(1)由題設得g(x)＝(x－1)2＋1，其圖象的對稱軸為x＝1，區(qū)間[1，b]在對稱軸的右邊，所以函數(shù)在區(qū)間[1，b]上單調(diào)遞增．由“四維光軍”函數(shù)的定義可知，
g(1)＝1，g(b)＝b，即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因為b>1，所以b＝3.
(2)假設存在常數(shù)a，b (a>－2)，使函數(shù)h(x)＝是區(qū)間[a，b] 上的“四維光軍”函數(shù)，
因為h(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以有即
解得a＝b，這與已知矛盾．故不存在．

13．已知函數(shù)f(x)＝x，a，b是正實數(shù)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關系為(　　)
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
答案　A
解析　∵≥≥，
又f(x)＝x在R上是減函數(shù)．
∴f?≤f()≤f?，即A≤B≤C.
14．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點c，使f(c)>0，則實數(shù)p的取值范圍是____________．
答案　
解析　方法一　(補集法)若二次函數(shù)f(x)≤0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)恒成立，
則
解得p≤－3或p≥，
故滿足題干條件的p的取值范圍為.
方法二　(直接法)依題意有f(－1)>0或f(1)>0，即2p2－p－1