2020版高考數(shù)學(xué)（文）新增分大一輪人教通用版講義：第八章　立體幾何8.3-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

最新考綱
考情考向分析
1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義．
2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．
3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.
主要考查與點、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假判斷和求解異面直線所成的角，題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)，主要為中低檔題.

1．平面的基本性質(zhì)及推論
(1)平面的基本性質(zhì)
基本性質(zhì)1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)．
基本性質(zhì)2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面．
基本性質(zhì)3：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線．
(2)平面基本性質(zhì)的推論
推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面．
推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．
2．直線與直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系的分類
(2)判斷兩直線異面：與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線．
3．直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．
4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．

概念方法微思考
分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線嗎？
提示　不一定．因為異面直線不同在任何一個平面內(nèi)．分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線可能平行或相交．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.
(　√　)
(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(　×　)
(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．(　×　)
(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．(　√　)
(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(　×　)
(6)若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線．(　×　)
題組二　教材改編
2．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(　　)

A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　C
解析　連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.
3．如圖，在三棱錐A—BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則

(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；
(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．
答案　(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
解析　(1)∵四邊形EFGH為菱形，
∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
題組三　易錯自糾
4．α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是(　　)
A．垂直 B．相交
C．異面 D．平行
答案　D
解析　依題意，m∩α＝A，n?α，
∴m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．
5.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(　　)

A．點A
B．點B
C．點C但不過點M
D．點C和點M
答案　D
解析　∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．
同理可知，點C也在γ與β的交線上．
6.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為______．

答案　3
解析　平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對．

題型一　平面基本性質(zhì)的應(yīng)用
例1 如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證：

(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點．
證明　(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.
∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，
∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面．
(2)∵EF∥CD1，EF0)，則AA1＝tAB.
∵AB＝1，∴AA1＝t.
∵A1C1＝，A1B＝＝BC1，
∴cos∠A1BC1＝
＝＝.
∴t＝3，即＝3.
思維升華用平移法求異面直線所成的角的三個步驟
(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；
(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角．
跟蹤訓(xùn)練3 (2018·全國Ⅱ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如圖，因為AB∥CD，
所以AE與CD所成角為∠EAB.

在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2，
則BE＝，
則tan∠EAB＝＝，
所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.

立體幾何中的線面位置關(guān)系
直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題．
例如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝AD，BE∥FA且BE＝FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．

(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？
(1)證明　由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，
可得GH∥AD且GH＝AD.
又BC∥AD且BC＝AD，
∴GH∥BC且GH＝BC，
∴四邊形BCHG為平行四邊形．
(2)解　∵BE∥AF且BE＝AF，G為FA的中點，
∴BE∥FG且BE＝FG，
∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH.
∴EF∥CH，∴EF與CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．
素養(yǎng)提升　平面幾何和立體幾何在點線面的位置關(guān)系中有很多的不同，借助確定的幾何模型，利用直觀想象討論點線面關(guān)系在平面和空間中的差異．

1．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
答案　A
解析　首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面．
2．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是(　　)
A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面
B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交
C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c
答案　C
解析　若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.
3.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是(　　)

A．直線AC
B．直線AB
C．直線CD
D．直線BC
答案　C
解析　由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，
又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以點D在平面ABC與平面β的交線上．
又因為C∈平面ABC，C∈β，
所以點C在平面β與平面ABC的交線上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.

4.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確是(　　)

A．A，M，O三點共線
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
答案　A
解析　連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四點共面，
∴A1C?平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，
同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．
∴A，M，O三點共線．
5．(2017·全國Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　將直三棱柱ABC－A1B1C1補形為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如圖①所示，連接AD1，B1D1，BD.

圖①
由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2×AB×AD×cos∠DAB＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝，所以B1D1＝.
又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ，
所以cos θ＝＝＝.
故選C.
6．正方體AC1中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有________條．
答案　6
解析　如圖，在正方體AC1中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6條．

7．(2019·東北三省三校模擬)若直線l⊥平面β，平面α⊥平面β，則直線l與平面α的位置關(guān)系為________．
答案　l∥α或l?α
解析　∵直線l⊥平面β，平面α⊥平面β，
∴直線l∥平面α，或者直線l?平面α.
8．在三棱錐S－ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是________．
答案　平行
解析　如圖所示，連接SG1并延長交AB于M，連接SG2并延長交AC于N，連接MN.

由題意知SM為△SAB的中線，且SG1＝SM，SN為△SAC的中線，且SG2＝SN，
∴在△SMN中，＝，
∴G1G2∥MN，
易知MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC，
∴G1G2∥BC.

9.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．

答案　
解析　取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，

因為C是圓柱下底面弧AB的中點，
所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D垂直于圓柱下底面，所以C1D⊥AD.
因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝AD，
所以直線AC1與AD所成角的正切值為，
所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.
10.如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．

以上四個命題中，正確命題的序號是________．
答案　②③④
解析　還原成正四面體A－DEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合．
易知GH與EF異面，BD與MN異面．

連接GM，∵△GMH為等邊三角形，
∴GH與MN成60°角，
易證DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE.
因此正確命題的序號是②③④.
11.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．

(1)求證：直線EF與BD是異面直線；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．
(1)證明　假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．
(2)解　取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，

所以相交直線EF與EG所成的角，
即為異面直線EF與BD所成的角．
又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG
＝AC，求得∠FEG＝45°，
即異面直線EF與BD所成的角為45°.
12.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

(1)三棱錐P－ABC的體積；
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．
解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱錐P－ABC的體積為V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，

所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝＝.
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.

13．平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，

∵α∥平面CB1D1，則m1∥m，
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面CB1D1∩平面A1B1C1D1
＝B1D1，∴B1D1∥m1，
∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.
故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。?br /> 又∵B1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，
∴∠CD1B1＝，
得sin∠CD1B1＝，故選A.
14.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：

①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.
以上四個命題中，正確命題的序號是________．
答案?、佗?br /> 解析　如圖，①AB⊥EF，正確；②顯然AB∥CM，所以不正確；③EF與MN是異面直線，所以正確；④MN與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是①③.

15.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點，則AD與GF所成的角的余弦值為________．

答案　
解析　取DE的中點H，連接HF，GH.

由題設(shè)，HF∥AD且HF＝AD，
∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補角)．
在△GHF中，可求HF＝2，
GF＝GH＝2，
∴cos∠GFH＝
＝＝.
16.如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2.

(1)當(dāng)點M在何位置時，BM∥平面AEF?
(2)若BM∥平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值．
解　(1)方法一　如圖所示，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M.

因為EC⊥AC，OM，EC?平面ACC1A1，
所以O(shè)M∥EC.
又因為EC＝2FB＝2，EC∥FB，
所以O(shè)M∥FB且OM＝EC＝FB，
所以四邊形OMBF為矩形，BM∥OF.
因為OF?平面AEF，BM?平面AEF，
故BM∥平面AEF，此時點M為AC的中點．
方法二　如圖所示，取EC的中點P，AC的中點Q，連接PQ，PB，BQ.

因為EC＝2FB＝2，
所以PE∥BF且PE＝BF，
所以PB∥EF，PQ∥AE，
又AE，EF?平面AEF，PQ，PB?平面AEF，
所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，
因為PB∩PQ＝P，PB，PQ ?平面PBQ，
所以平面PBQ∥平面AEF.
又因為BQ?平面PBQ，
所以BQ∥平面AEF.
故點Q即為所求的點M，此時點M為AC的中點．
(2)由(1)知，BM與EF異面，∠OFE(或∠MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補角．
易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，
所以cos∠OFE＝＝＝，
所以BM與EF所成的角的余弦值為.