1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)
(1)a－b＞0?a＞b.
(2)a－b＝0?a＝b.
(3)a－b＜0?a＜b.
2．不等式的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a；
(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；
a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可開方性：a＞b＞0? ＞ (n∈N，n≥2)．
3．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系
判別式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有兩相異實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)
有兩相等實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－
沒有實(shí)數(shù)根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}

R
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?

由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法,(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?
[熟記常用結(jié)論]
1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論
(1)a＞b，ab＞0?＜.
(2)a＜0＜b?＜.
(3)a＞b＞0,0＜c＜d?＞.
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?＜＜.
2．兩個(gè)重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，則
(1)＜；＞(b－m＞0)．
(2)＞；＜(b－m＞0)．
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關(guān)系中的一種．(　　)
(2)一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或乘同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變．(　　)
(3)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越?。?　　)
(4)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0.(　　)
(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、選填題
1．設(shè)A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，則A與B的大小關(guān)系為(　　)
A．A≥B　　　　　　　　　　 B．A＞B
C．A≤B D．A＜B
解析：選B　因?yàn)锳－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以A＞B.故選B.
2．若a＜b＜0，則下列不等式不能成立的是(　　)
A.＞ B.＞
C．|a|＞|b| D．a(chǎn)2＞b2
解析：選A　取a＝－2，b＝－1，則＞不成立．
3．函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?　　)
A．[0,3] B．(0,3)
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：選A　要使函數(shù)f(x)＝有意義，則3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.
4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：當(dāng)a＝0時(shí)，滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，由題意知a＞0且Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.
答案：[0,4]
5．若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是________．
解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，∴－4＜－|β |≤0.
∴－3＜α－|β|＜3.
答案：(－3,3)

考點(diǎn)一[不等式的性質(zhì)及應(yīng)用基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)]
[題組練透]
1．若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有(　　)
A.＞　　　　　　 　　 B.＜
C.＞ D.＜
解析：選B　因?yàn)閏＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
所以＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，
所以＜.故選B.
2．設(shè)a，b∈R，則“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A　(a－b)·a2＜0，則必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b時(shí)，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要條件．
3．若a＝，b＝，則a____b(填“＞”或“＜”)．
解析：易知a，b都是正數(shù)，＝＝log89＞1，所以b＞a.
答案：＜
4．已知等比數(shù)列{an}中，a1＞0，q＞0，前n項(xiàng)和為Sn，則與的大小關(guān)系為________．
解析：當(dāng)q＝1時(shí)，＝3，＝5，所以＜.
當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜.綜上可知＜.
答案：＜
5．已知－1＜x＜4,2＜y＜3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．
解析：∵－1＜x＜4,2＜y＜3，∴－3＜－y＜－2，
∴－4＜x－y＜2.
由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，
∴1＜3x＋2y＜18.
答案：(－4,2)　(1,18)
[名師微點(diǎn)]
比較大小的方法
(1)作差法，其步驟：作差?變形?判斷差與0的大小?得出結(jié)論．
(2)作商法，其步驟：作商?變形?判斷商與1的大小?得出結(jié)論．
(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大?。?br /> (4)賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論．
考點(diǎn)二一元二次不等式的解法[師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(1)解不等式：－x2－2x＋3≥0；
(2)已知函數(shù)f(x)＝解不等式f(x)＞3；
(3)解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≤0)．
[解]　(1)不等式兩邊同乘以－1，原不等式可化為x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解為x1＝－3，x2＝1.
而y＝x2＋2x－3的圖象開口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(2)由題意得或解得x＞1.
故原不等式的解集為{x|x＞1}．
(3)原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0.
①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.
②當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≤0.
當(dāng)＞－1，即a＜－2時(shí)，解得－1≤x≤；
當(dāng)＝－1，即a＝－2時(shí)，解得x＝－1滿足題意；
當(dāng)＜－1，即－2＜a＜0時(shí)，解得≤x≤－1.
綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤－1}；
當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為{－1}；
當(dāng)a＜－2時(shí)，不等式的解集為.
[解題技法]
1．解一元二次不等式的一般步驟

2．解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)
(1)對(duì)于ax2＋bx＋c＞0(＜0)的形式：
當(dāng)a＝0時(shí)，轉(zhuǎn)化為一次不等式．
當(dāng)a＜0時(shí)，轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．
當(dāng)a＞0時(shí)，直接求解．
(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．
(3)確定無根或一個(gè)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．

[過關(guān)訓(xùn)練]
1．不等式0＜x2－x－2≤4的解集為________．
解析：原不等式等價(jià)于
即
即解得
故原不等式的解集為{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．
答案：[－2，－1)∪(2,3]
2．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解：原不等式可化為12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為∪；
當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為∪.
考點(diǎn)三一元二次不等式的恒成立問題[全析考法過關(guān)]
[考法全析]
考法(一)　在R上的恒成立問題
[例1]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，2]　　　　　　　 B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
[解析]　當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，不等式為－4＜0對(duì)一切x∈R恒成立．
當(dāng)a≠2時(shí)，則
即解得－2＜a＜2.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2,2]．
[答案]　C
考法(二)　在給定區(qū)間上的恒成立問題
[例2]　設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解]　要使f(x)＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即mx2－mx＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下兩種方法：
法一：令g(x)＝mx2－mx＋m－6＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
當(dāng)m＞0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0，
所以m＜，所以0＜m＜；
當(dāng)m＝0時(shí)，－6＜0恒成立；
當(dāng)m＜0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6＜0，
所以m＜6，所以m＜0.
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
法二：因?yàn)閤2－x＋1＝2＋＞0，
又因?yàn)閙x2－mx＋m－6＜0，所以m＜.
因?yàn)楹瘮?shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m＜即可．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
考法(三)　給定參數(shù)范圍求x的范圍的恒成立問題
[例3]　若對(duì)任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍．
[解]　由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.
故x的取值范圍為(－∞，1)∪(3，＋∞)．

[規(guī)律探求]
看個(gè)性
考法(一)是一元二次不等式在R上恒成立問題：
解決此類問題常利用一元二次不等式在R上恒成立的條件，注意如果不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立，不要忽略a＝0時(shí)的情況．
考法(二)在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法：
(1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．
(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即
已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.
考法(三)給定參數(shù)范圍求x的范圍的恒成立問題求解方法：
解決此類問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．即把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．
找共性
對(duì)于一元二次不等式恒成立問題，恒大于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．另外，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值.

[過關(guān)訓(xùn)練]
1．若不等式x2＋mx－1＜0對(duì)于任意x∈[m，m＋1]都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：由題意，得函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又拋物線f(x)＝x2＋mx－1開口向上，
所以只需
即解得－＜m＜0.
答案：
2．函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
解：(1)∵當(dāng)x∈R時(shí)，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6,2]．
(2)對(duì)于任意x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立．
即x2＋ax＋3－a≥0對(duì)任意x∈[－2,2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a.
則有①Δ≤0或②
或③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈?，解③得－7≤a＜－6.
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－7,2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．

一、題點(diǎn)全面練
1．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是(　　)
A．M＜N　　　　　　　　　 B．M ＞N
C．M＝N D．不確定
解析：選B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1＜0，a2－1＜0.
∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0，
∴M ＞N.
2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式中成立的是(　　)
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
解析：選D　m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．
3．若＜＜0，給出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正確的不等式的序號(hào)是(　　)
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
解析：選C　因?yàn)椋迹?，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)閘n a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C.
4．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＞0恒成立，則b的取值范圍是(　　)
A．(－1,0) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能確定
解析：選C　由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，即＝1，解得a＝2.
又因?yàn)閒(x)的圖象開口向下，
所以當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)為增函數(shù)，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
5．已知a∈Z，關(guān)于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是(　　)
A．13 B．18
C．21 D．26
解析：選C　設(shè)f(x)＝x2－6x＋a，其圖象為開口向上，對(duì)稱軸是x＝3的拋物線，如圖所示．

若關(guān)于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，
則即
解得5＜a≤8，又a∈Z，故a＝6,7,8.
則所有符合條件的a的值之和是6＋7＋8＝21.
6．若不等式2kx2＋kx－＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為________．
解析：當(dāng)k＝0時(shí)，顯然成立；
當(dāng)k≠0時(shí)，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則解得－3＜k＜0.綜上，滿足不等式2kx2＋kx－＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的k的取值范圍是(－3,0]．
答案：(－3,0]
7．若不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是________．
解析：由Δ＝a2＋8＞0，知方程x2＋ax－2＝0恒有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一負(fù)根．于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范圍為.
答案：
8．對(duì)于實(shí)數(shù)x，當(dāng)且僅當(dāng)n≤x＜n＋1(n∈N*)時(shí)，[x]＝n，則關(guān)于x的不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集為________．
解析：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x]＜，又當(dāng)且僅當(dāng)n≤x＜n＋1(n∈N*)時(shí)，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集為[2,8)．
答案：[2,8)
9．若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是.
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集．
解：(1)由題意知a＜0，且方程ax2＋5x－2＝0的兩個(gè)根為，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式為－2x2－5x＋3＞0，
即2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜，
即不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集為.
10．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，試求函數(shù)y＝(x＞0)的最小值；
(2)對(duì)于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)依題意得y＝＝＝x＋－4.
因?yàn)閤＞0，所以x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．所以y≥－2.
所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＝的最小值為－2.
(2)因?yàn)閒(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨設(shè)g(x)＝x2－2ax－1，
則只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
二、專項(xiàng)培優(yōu)練
易錯(cuò)專練——不丟怨枉分
1．不等式＞1的解集為(　　)
A. B．(－∞，1)
C.∪(1，＋∞) D.
解析：選A　原不等式等價(jià)于－1＞0，
即＞0，整理得＜0，
不等式等價(jià)于(2x－1)(x－1)＜0，解得＜x＜1.
2．若＜＜0，則下列結(jié)論不正確的是(　　)
A．a(chǎn)2＜b2 B．a(chǎn)b＜b2
C．a(chǎn)＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|
解析：選D　由題可知b＜a＜0，所以A、B、C正確，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D錯(cuò)誤．
3．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　)
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
解析：選C　因?yàn)閤＞y＞z，
所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0，
由得xy＞xz.故選C.
4．若α，β滿足則α＋3β的取值范圍是________．
解析：設(shè)α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
則解得
因?yàn)椋?≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
兩式相加，得1≤α＋3β ≤7.
所以α＋3β的取值范圍為[1,7]．
答案：[1,7]
5．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0，|a|≤1恒成立的x的取值范圍．
解：將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，則－1≤a≤1.
因?yàn)閒(a)＞0在|a|≤1時(shí)恒成立，所以
①若x＝3，則f(a)＝0，不符合題意，應(yīng)舍去．
②若x≠3，由一次函數(shù)的單調(diào)性，
可得即解得x＜2或x＞4.
則實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，2)∪(4，＋∞)．


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