?畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域時，一般步驟為：直線定界，虛實分明；特殊點定域，優(yōu)選原點；陰影表示．
注意不等式中有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線．特殊點一般選一個，當直線不過原點時，優(yōu)先選原點．
?如果目標函數存在一個最優(yōu)解，那么最優(yōu)解通常在可行域的頂點處取得；如果目標函數存在多個最優(yōu)解，那么最優(yōu)解一般在可行域的邊界上取得.
1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
不等式
表示區(qū)域
Ax＋By＋C＞0
直線Ax＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區(qū)域
不包括邊界直線
Ax＋By＋C≥0
包括邊界直線
不等式組
各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分?
2．簡單的線性規(guī)劃中的基本概念
名稱
意義
約束條件
由變量x，y組成的不等式(組)
線性約束條件
由變量x，y組成的一次不等式(組)
目標函數
關于x，y的函數解析式，如z＝2x＋3y等
線性目標函數
關于x，y的一次函數解析式
可行解
滿足線性約束條件的解(x，y)
可行域
所有可行解組成的集合
最優(yōu)解
使目標函數取得最大值或最小值?的可行解
線性規(guī)劃問題
在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題
[熟記常用結論]
(1)把直線ax＋by＝0向上平移時，直線ax＋by＝z在y軸上的截距逐漸增大，且b＞0時z的值逐漸增大，b＜0時z的值逐漸減?。?br /> (2)把直線ax＋by＝0向下平移時，直線ax＋by＝z在y軸上的截距逐漸減小，且b＞0時z的值逐漸減小，b＜0時z的值逐漸增大．
以上規(guī)律可簡記為：當b＞0時，直線向上平移z變大，向下平移z變??；當b＜0時，直線向上平移z變小，向下平移z變大．
[小題查驗基礎]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)
(2)線性目標函數的最優(yōu)解可能是不唯一的．(　　)
(3)在目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、選填題
1．不等式組表示的平面區(qū)域是(　　)

解析：選C　x－3y＋6＜0表示直線x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直線x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式組表示的平面區(qū)域為選項C所示陰影部分．
2．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C. D.
解析：選C　不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．
解可得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，
|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
3．(2018·天津高考)設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝3x＋5y的最大值為(　　)
A．6 B．19
C．21 D．45
解析：選C　作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－x＋.

設直線l0為y＝－x，平移直線l0，當直線y＝－x＋過點P時，z取得最大值．
聯(lián)立解得
即P(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21.
4．若點(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面區(qū)域內，則m的取值范圍是________．
解析：∵點(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面區(qū)域內，∴2m＋3－5＞0，即m＞1.
答案：(1，＋∞)
5．已知點(－3，－1)和點(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則a的取值范圍為________．
解析：根據題意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0，即(a＋7)·(a－24)＜0，
解得－7＜a＜24.
答案：(－7,24)


[典例精析]
(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．1
C．5 D．無窮大
(2)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B．(0,1]
C. D．(0,1]∪

[解析]　(1)作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，△ABC的面積即所求．求出點A，B，C的坐標分別為A(1,2)，B(2，2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝×(2－1)×2＝1.
(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．
由得A，
由得B(1,0)．
若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則直線x＋y＝a中a的取值范圍是0＜a≤1或a≥.
[答案]　(1)B　(2)D
[解題技法]
1．求平面區(qū)域面積的方法
(1)首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應利用題目的已知條件轉化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；
(2)對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應確定底與高．若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解．若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個規(guī)則圖形分別求解再求和即可．
2．平面區(qū)域的形狀問題兩種題型及解法
(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時先畫滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀；
(2)根據平面區(qū)域的形狀求解參數問題，求解時通常先畫滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對參數進行必要的討論．

[過關訓練]
1．(2019·漳州調研)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線l：mx－y＋m＋1＝0分為面積相等的兩部分，則m＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
解析：選A　由題意可畫出可行域為△ABC及其內部所表示的平面區(qū)域，如圖所示．

聯(lián)立可行域邊界所在直線方程，可得A(－1,1)，B，C(4,6)．因為直線l：y＝m(x＋1)＋1過定點A(－1,1)，直線l將△ABC分為面積相等的兩部分，所以直線l過邊BC的中點D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故選A.
2．若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為________．
解析：如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，則－2m＜2，即m＞－1，所圍成的區(qū)域為△ABC，S△ABC＝S△ADC－S△BDC.

點A的縱坐標為1＋m，點B的縱坐標為(1＋m)，C，D兩點的橫坐標分別為2，－2m，
所以S△ABC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，
解得m＝－3(舍去)或m＝1.
答案：1

[考法全析]
考法(一)　求線性目標函數的最值
[例1]　(2018·鄭州第一次質量預測)設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝2x－y的最小值為________．
[解析]　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作出直線y＝2x，平移該直線，易知當直線經過A(1,3)時，z最小，zmin＝2×1－3＝－1.

[答案]　－1
考法(二)　求非線性目標函數的最值
[例2]　若實數x，y滿足則的取值范圍為________．

[解析]　作出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示．
z＝表示可行域內任一點與坐標原點連線的斜率，
因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)
由得B(1,2)，
所以kOB＝＝2，即zmin＝2，
所以z的取值范圍是[2，＋∞)．
[答案]　[2，＋∞)
　
1．(變設問)本例條件不變，則目標函數z＝x2＋y2的取值范圍為________．
解析：z＝x2＋y2表示可行域內的任意一點與坐標原點之間距離的平方．
因此x2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2.
易知A(0,1)，所以OA2＝1，
OB2＝12＋22＝5，所以z的取值范圍是[1,5]．
答案：[1,5]
2．(變設問)本例條件不變，則目標函數z＝的取值范圍為________．
解析：z＝可以看作點P(1,1)與平面內任一點(x，y)連線的斜率．易知點P(1,1)與A(0,1)連線的斜率最大，為0.無最小值．
所以z的取值范圍是(－∞，0]．
答案：(－∞，0]

考法(三)　求參數值或取值范圍
[例3]　(2019·黃岡模擬)已知x，y滿足約束條件且z＝x＋3y的最小值為2，則常數k＝________.
[解析]　作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，

由z＝x＋3y得y＝－x＋，結合圖形可知當直線y＝－x＋過點A時，z最小，聯(lián)立方程得A(2，－2－k)，此時zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2.
[答案]?。?
[規(guī)律探求]
看個性
考法(一)是求線性目標函數的最值
線性目標函數的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以直接解出可行域的頂點，將坐標代入目標函數求出相應的數值，從而確定目標函數的最值．
考法(二)是求非線性目標函數的最值
目標函數是非線性形式的函數時，?？紤]目標函數的幾何意義，常見代數式的幾何意義主要有：
(1)表示點(x，y)與原點(0,0)間的距離，表示點(x，y)與點(a，b)間的距離；
(2)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．
考法(三)是由目標函數的最值求參數
解決這類問題時，首先要注意對參數取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數的值．
[口訣記憶]
線性規(guī)劃三類題，截距斜率和距離；
目標函數看特征，數形結合來解題．
找共性
利用線性規(guī)劃求目標函數最值問題的步驟
(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數所表示的平面直線系中的任意一條直線l；
(2)平移——將l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應的點的位置．有時需要進行目標函數l和可行域邊界的斜率的大小比較；
(3)求值——解有關方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值或根據最值求參數.
[過關訓練]
1．(2018·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________．

解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示．
由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.作直線l0：y＝－x.
平移直線l0，當直線y＝－x＋過點(2,0)時，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
答案：6
2．(2019·陜西教學質量檢測)已知x，y滿足約束條件若目標函數z＝3x＋y的最大值為10，則z的最小值為________．
解析：畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：3x＋y＝0，平移l，從而可知經過C點時z取到最大值，

由解得
∴2×3－1－m＝0，m＝5.
由圖知，平移l經過B點時，z最小，
∴當x＝2，y＝2×2－5＝－1時，z最小，zmin＝3×2－1＝5.
答案：5

[典例精析]
(2018·福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道工序．已知生產一把椅子需要木工4個工作時，漆工2個工作時；生產一張桌子需要木工8個工作時，漆工1個工作時．生產一把椅子的利潤為1 500元，生產一張桌子的利潤為2 000元．該廠每個月木工最多完成8 000個工作時、漆工最多完成1 300個工作時．根據以上條件，該廠安排生產每個月所能獲得的最大利潤是________元．
[解析]　設該廠每個月生產x把椅子，y張桌子，利潤為z元，則得約束條件z＝1 500x＋2 000y.
畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，畫出直線3x＋4y＝0，平移該直線，可知當該直線經過點P時，z取得最大值．由得即P(200，900)，所以zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每個月所獲得的最大利潤為2 100 000元．

[答案]　2 100 000
[解題技法]
解線性規(guī)劃應用題的一般步驟：
(1)分析題意，設出未知量；
(2)列出約束條件和目標函數；
(3)作出平面區(qū)域；
(4)判斷最優(yōu)解；
(5)根據實際問題作答．
[過關訓練]
1．(2018·河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需要A，B兩種原料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤為(　　)

甲
乙
原料限量
A/噸
3
2
12
B/噸
1
2
8
A．16萬元　　　　　　　　 B．17萬元
C．18萬元 D．19萬元
解析：選C　設該企業(yè)每天生產x噸甲產品，y噸乙產品，可獲得利潤為z萬元，則z＝3x＋4y，且x，y滿足不等式組
作出不等式組表

示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線3x＋4y＝0并平移，可知當直線經過點B(2,3)時，z取得最大值，zmax＝3×2＋4×3＝18(萬元)．故選C.
2．某高新技術公司要生產一批新研發(fā)的A款產品和B款產品，生產一臺A款產品需要甲材料3 kg，乙材料1 kg，并且需要花費1天時間，生產一臺B款產品需要甲材料1 kg，乙材料3 kg，也需要1天時間，已知生產一臺A款產品的利潤是1 000元，生產一臺B款產品的利潤是2 000元，公司目前有甲、乙材料各300 kg，則在不超過120天的情況下，公司生產兩款產品的最大利潤是________元．
解析：設分別生產A款產品和B款產品x，y臺，利潤之和為z元，則根據題意可得目標函數為z＝1 000x＋2 000 y．畫出可行域如圖所示，

由圖可知，當直線y＝－＋經過點M時，z取得最大值．聯(lián)立得M(30,90)．所以當x＝30，y＝90時，目標函數取得最大值，zmax＝30×1 000＋90×2 000＝210 000.
答案：210 000

一、題點全面練
1．由直線x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式組可表示為(　　)
A.　　　　　B.
C. D.
解析：選A　如圖，作出對應的平面區(qū)域，

三角形區(qū)域在直線x＝1的右側，則x≥1；在x－y＋1＝0的上方，則x－y＋1≤0；在x＋y－5＝0的下方，則x＋y－5≤0.
故用不等式組表示為故選A.
2．(2018·南昌調研)設變量x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最大值為(　　)
A．－2 B．2
C．3 D．4
解析：選C　作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝x，平移該直線，當直線經過C(1,0)時，在y軸上的截距最小，z最大，此時z＝3×1－0＝3，故選C.
3．(2019·黃岡模擬)若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則a從－2連續(xù)變化到1時，動直線x＋y＝a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為(　　)
A．9 B．3
C. D.
解析：選D　如圖，不等式組表示的平面區(qū)域是△AOB，

由動直線x＋y＝a(即y＝－x＋a)在y軸上的截距從－2變化到1，知△ACD是斜邊為3的等腰直角三角形，△OEC是直角邊為1的等腰直角三角形，聯(lián)立解得所以D，所以區(qū)域的面積S陰影＝S△ACD－S△OEC＝×3×－×1×1＝，故選D.
4．(2019·淄博模擬)已知點Q(2,0)，點P(x，y)的坐標滿足條件則|PQ|的最小值是(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：選B　作出P(x，y)的坐標滿足條件的可行域，如圖中陰影部分所示．易得點Q到直線x＋y＝1的距離最小，所以|PQ|min＝＝.故選B.
5．已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析：選A　不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，把目標函數z＝2x＋y轉化為y＝－2x＋z，它表示的是斜率為－2，截距為z的平行直線系，當截距最小時，z最?。斨本€z＝2x＋y經過點B時，z最?。傻靡虼耍?＝a(1－3)，解得a＝，故選A.
6．(2019·開封模擬)已知實數x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值是________．

解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，設u＝x－2y，由圖知，當u＝x－2y經過點A(1,3)時取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此時z＝x－2y取得最大值，即zmax＝－5＝32.
答案：32
7．已知x，y滿足以下約束條件使z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最優(yōu)解有無數個，則a的值為________．
解析：∵z＝x＋ay，
∴y＝－x＋，
為直線y＝－x＋在y軸上的截距．要使目標函數的最優(yōu)解有無窮多個，則截距最小時的最優(yōu)解有無數個．∵a＞0，把y＝－x＋平移，使之與可行域的邊界AC重合即可，
∴－＝－1，滿足要求，∴a＝1.
答案：1
8．(2019·山西五校聯(lián)考)不等式組表示的平面區(qū)域為Ω，直線x＝a(a＞1)將平面區(qū)域Ω分成面積之比為1∶4的兩部分，則目標函數z＝ax＋y的最大值為________．
解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，平面區(qū)域Ω為△ABC及其內部，作直線x＝a(1＜a＜4)交BC，AC分別于點E，F(xiàn).由題意可知S△EFC＝S△ABC，則(4－a)·＝××5×1＝，可得a＝2(a＝6舍去)，所以目標函數z＝ax＋y即為z＝2x＋y，易知z＝2x＋y在點C(4,1)處取得最大值，則zmax＝9.

答案：9
9．若x，y滿足約束條件
(1)求目標函數z＝x－y＋的最值；
(2)若目標函數z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍．

解：(1)作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，易知B(0，1)，C(1,0)，
聯(lián)立解得A(3,4)．
平移直線x－y＋＝0，過A(3,4)取最小值－2，
過C(1,0)取最大值1.
所以z的最大值為1，最小值為－2.
(2)直線ax＋2y＝z僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.
故所求a的取值范圍為(－4,2)．
10．電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：

連續(xù)劇播
放時長(分鐘)
廣告播放
時長(分鐘)
收視人次(萬)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數不多于乙連續(xù)劇播放次數的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數．
(1)用x，y列出滿足題目條件的數學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；
(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？
解：(1)由已知，x，y滿足的數學關系式為
即
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分中的整數點．

(2)設總收視人次為z萬，則目標函數為z＝60x＋25y.
考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值最大．
又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當直線z＝60x＋25y經過可行域上的點M時，截距最大，即z最大．
解方程組得點M的坐標為(6,3)．
所以電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多．
二、專項培優(yōu)練
(一)易錯專練——不丟怨枉分
1．設關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內存在點P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，則m的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
解析：選C　作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，交點C的坐標為(－m，m)，直線x－2y＝2的斜率為，斜截式方程為y＝x－1，要使平面區(qū)域內存在點P(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，則點C(－m，m)必在直線x－2y＝2的下方，即m＜－m－1，解得m＜－，∴m的取值范圍是，故選C.
2．(2019·金華模擬)設z＝kx＋y，其中實數x，y滿足若z的最大值為12，則實數k＝________.
解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，由得A(4,4)．同理，得B(0,2)．

①當k＞－時，目標函數z＝kx＋y在x＝4，y＝4時取最大值，即直線z＝kx＋y在y軸上的截距z最大，此時，12＝4k＋4，故k＝2.
②當k≤－時，目標函數z＝kx＋y在x＝0，y＝2時取最大值，即直線z＝kx＋y在y軸上的截距z最大，此時，12＝0×k＋2，故k不存在．綜上，k＝2.
答案：2
3．若存在實數x，y，m使不等式組與不等式x－2y＋m≤0都成立，則實數m的取值范圍是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，3]
C．[1，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：選B　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A(4,2)，B(1,1)，C(3,3)．

設z＝x－2y，將直線l：z＝x－2y進行平移，當l經過點A時，目標函數z達到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，當l經過點C時，目標函數z達到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范圍為[－3,0]．∵存在實數m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在實數m，使x－2y≤－m成立，∴－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故選B.

(二)交匯專練——融會巧遷移
4．[與向量交匯]已知P(x，y)為不等式組所確定的平面區(qū)域上的動點，若點M(2,1)，O(0,0)，則z＝·的最大值為(　　)
A．1 B．2
C．10 D．11
解析：選D　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，

聯(lián)立解得A(4,3)．由點M(2,1)，O(0,0)，得z＝OP―→·OM―→＝2x＋y，則y＝－2x＋z，
顯然直線y＝－2x＋z過A(4,3)時，z最大，
此時z＝2×4＋3＝11.故選D.
5．[與概率交匯]關于實數x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，不等式(x－4)2＋(y－3)2≤1所表示的平面區(qū)域記為N，若在M內隨機取一點，則該點取自N的概率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A　關于實數x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，面積為×4×4＝8，不等式(x－4)2＋
(y－3)2≤1所表示的平面區(qū)域記為N，且滿足不等式組其面積為π，所以在M內隨機取一點，則該點取自N的概率為＝，故選A.
6．[與圓交匯]記不等式組表示的平面區(qū)域為D，過區(qū)域D中任意一點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則當∠APB的值最大時，cos∠APB＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：選D　作出不等式組表示的平面區(qū)域D，如圖中陰影部分所示，

要使∠APB最大，則∠OPA最大．因為sin∠OPA＝＝，所以只要OP最小即可，即P到圓心的距離最小即可．由圖象可知當OP垂直直線4x＋3y－10＝0時，|OP|最小，此時|OP|＝＝＝2.
設∠APB＝α，則∠APO＝，即sin＝＝，
此時cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝，
即cos∠APB＝.故選D.

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