2020版高考數(shù)學(xué)（理）新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)通用版講義：第七章第四節(jié)合情推理與演繹推理-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．合情推理
類型
定義
特征
歸納推理
由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理
由部分到整體、由個別到一般
類比推理
由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理
由特殊到特殊
合情推理
歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理

2．演繹推理
(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情況；
③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．
合情推理與演繹推理的區(qū)別
(1)合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確．
(2)合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理；演繹推理是證明結(jié)論的推理．
[小題查驗基礎(chǔ)]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．(　　)
(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．(　　)
(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．(　　)
(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、選填題
1．①已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，則①②兩個推理過程分別屬于(　　)
A．類比推理、歸納推理　　 B．類比推理、演繹推理
C．歸納推理、類比推理 D．歸納推理、演繹推理
解析：選A?、儆扇切蔚男再|(zhì)得到扇形的性質(zhì)有相似之處，此種推理為類比推理；②由特殊到一般，此種推理為歸納推理，故選A.
2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是(　　)
A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3
C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1
解析：選C　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
3．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)
A．28 B．32
C．33 D．27
解析：選B　5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，x＝20＋3×4＝32.
4．推理“①矩形是平行四邊形，②三角形不是平行四邊形，③三角形不是矩形”中的小前提是________(填序號)．
解析：由演繹推理三段論可知，①是大前提，②是小前提，③是結(jié)論．
答案：②
5．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．
解析：由平面圖形的面積類比立體圖形的體積得出：在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的底面積之比為1∶4，對應(yīng)高之比為1∶2，所以體積比為1∶8.
答案：1∶8

[考法全析]
考法(一)　與數(shù)字有關(guān)的推理
[例1]　從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個數(shù)的和可以為(　　)

A．2 018　　　　　　　 B．2 019
C．2 020 D．2 021
[解析]　　根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列，設(shè)最上層的一個數(shù)為a，則第二層的三個數(shù)為a＋7，a＋8，a＋9，第三層的五個數(shù)為a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，
這九個數(shù)之和為a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.
由9a＋104＝2 021，得a＝213，是自然數(shù)，故選D.
[答案]　D
考法(二)　與等式有關(guān)的推理
[例2]　觀察下列等式
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
……
據(jù)此規(guī)律，第n個等式為________________________．
[解析]　規(guī)律為等式左邊共有2n項且等式左邊分母分別為1,2，…，2n，分子為1，奇數(shù)項為正、偶數(shù)項為負(fù)，即為1－＋－＋…＋－；等式右邊共有n項且分母分別為n＋1，n＋2，…，2n，分子為1，即為＋＋…＋.所以第n個等式為1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
[答案]　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
考法(三)　與不等式有關(guān)的推理
[例3]　(1)設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，計算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，觀察上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為____________________________________．
(2)已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，歸納得x＋≥n＋1(n∈N*)，則a＝________.
[解析]　(1)∵f(21)＝，f(22)＞2＝，
f(23)＞，f(24)＞，
∴歸納得f(2n)≥(n∈N*)．
(2)第一個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1；第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4；第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn.
[答案]　(1)f(2n)≥(n∈N*)　(2)nn
考法(四)　與數(shù)列有關(guān)的推理
[例4]　有一個奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：
1　3　7　13　21　…
5　9　15　23　…　…
11　17　25　…　…　…
19　27　…　…　…　…
29　…　…　…　…　…
…　…　…　…　…　…
則第30行從左到右第3個數(shù)是________．
[解析]　觀察每一行的第一個數(shù)，由歸納推理可得第30行的第1個數(shù)是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大2n，第3個數(shù)比第2個數(shù)大2n＋2，所以第30行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大60，第3個數(shù)比第2個數(shù)大62，故第30行從左到右第3個數(shù)是929＋60＋62＝1 051.
[答案]　1 051
考法(五)　與圖形變化有關(guān)的推理
[例5]　分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照如圖(1)所示的分形規(guī)律可得如圖(2)所示的一個樹形圖．若記圖(2)中第n行黑圈的個數(shù)為an，則a2 019＝________.

[解析]　根據(jù)題圖(1)所示的分形規(guī)律，可知1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，把題圖(2)中的樹形圖的第1行記為(1,0)，第2行記為(2,1)，第3行記為(5,4)，第4行的白圈數(shù)為2×5＋4＝14，黑圈數(shù)為5＋2×4＝13，所以第4行的“坐標(biāo)”為(14,13)，同理可得第5行的“坐標(biāo)”為(41,40)，第6行的“坐標(biāo)”為(122,121)，….各行黑圈數(shù)乘2，分別是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1，27－1，81－1，…，所以可以歸納出第n行的黑圈數(shù)an＝(n∈N*)，所以a2 019＝.
[答案]　
[規(guī)律探求]
看個性
考法(一)與數(shù)字有關(guān)的推理．要注意行與行，列與列之間的數(shù)字變化規(guī)律，每個數(shù)據(jù)與正整數(shù)n之間的關(guān)系．
考法(二)與等式有關(guān)的推理．觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解．
考法(三)與不等式有關(guān)的推理．觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解．
考法(四)與數(shù)列有關(guān)的推理．通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可．
考法(五)與圖形變化有關(guān)的推理．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)?br /> 找共性
破解歸納推理的思維步驟
(1)發(fā)現(xiàn)共性：通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)；
(2)歸納推理：把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題(猜想)；
(3)檢驗得結(jié)論：對所得的一般性命題進行檢驗．一般地，“求同存異”“逐步細(xì)化”“先粗后精”是求解由特殊結(jié)論推廣到一般結(jié)論型創(chuàng)新題的基本技巧
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．將自然數(shù)0,1,2，…按照如下形式進行擺列：

根據(jù)以上規(guī)律判定，從2 016到2 018的箭頭方向是(　　)

解析：選A　從所給的圖形中觀察得到規(guī)律：每隔四個單位，箭頭的走向是一樣的，比如說，0→1，箭頭垂直指下，4→5箭頭也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭頭垂直指下，之后2 017→2 018的箭頭是水平向右，故選A.
2.如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，…，依此類推，如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選C　由題意知，第1層的點數(shù)為1，第2層的點數(shù)為6，第3層的點數(shù)為2×6，第4層的點數(shù)為3×6，第5層的點數(shù)為4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)層的點數(shù)為6(n－1)．設(shè)一個點陣有n(n≥2，n∈N*)層，則共有的點數(shù)為1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6×＝3n2－3n＋1，由題意，得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8層．

[典例精析]
(1)(2019·大同模擬)已知P是圓x2＋y2＝R2上的一個動點，過點P作曲線C的兩條互相垂直的切線，切點分別為M，N，MN的中點為E.若曲線C：＋＝1(a＞b＞0)，且R2＝a2＋b2，則點E的軌跡方程為＋＝.若曲線C：－＝1(a＞b＞0)，且R2＝a2－b2，則點E的軌跡方程是(　　)
A.－＝　　　 B.－＝
C.＋＝ D.＋＝
(2)我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2＋b2＝c2，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O - ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S為頂點O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則下列選項中對于S，S1，S2，S3滿足的關(guān)系描述正確的為(　　)
A．S2＝S＋S＋S　　　　 B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋
[解析]　(1)由于橢圓與雙曲線定義中的運算互為逆運算，所以猜想與雙曲線對應(yīng)的點E的軌跡方程為－＝.

(2)如圖，作OD⊥ BC于點D，連接AD，由立體幾何知識知，AD⊥BC，從而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2
＝S＋S＋S.
[答案]　(1)B　(2)A
[解題技法]
類比推理的應(yīng)用類型及解題方法
類比
定義
在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解
類比
性質(zhì)
從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵
類比
方法
有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移

[提醒]　進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，提出猜想．其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵．
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為.類似地，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項的積為Tn，則等比數(shù)列{}的公比為(　　)
A. B．q2
C. D.
解析：選C　由題設(shè)，得Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq.
∴＝b1q，
∴等比數(shù)列{}的公比為，故選C.
2．(2019·黃岡模擬)已知正三角形內(nèi)切圓的半徑r與它的高h(yuǎn)的關(guān)系是r＝h，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，則正四面體內(nèi)切球的半徑r與正四面體的高h(yuǎn)的關(guān)系是________．
解析：球心到正四面體一個面的距離即內(nèi)切球的半徑r，連接球心與正四面體的四個頂點，把正四面體分成四個高為r的三棱錐，所以4×S×r＝×S×h，所以r＝h(其中S為正四面體一個面的面積)．
答案：r＝h

[典例精析]
(1)(2019·長春質(zhì)監(jiān))有甲、乙二人去看望高中數(shù)學(xué)老師張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是m月n日，張老師把m告訴了甲，把n告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲說：“我不知道，但你一定也不知道．”乙聽了甲的話后，說：“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了．”甲接著說：“哦，現(xiàn)在我也知道了．”請問，張老師的生日是________．
[解析]　根據(jù)甲說的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根據(jù)乙聽了甲的話后說的“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根據(jù)甲接著說的“哦，現(xiàn)在我也知道了”，可以得知張老師的生日為8月4日．
[答案]　8月4日
(2)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．證明：
①數(shù)列是等比數(shù)列；
②Sn＋1＝4an.
[證明]?、佟遖n＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論)
(大前提是等比數(shù)列的定義)
②由①可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論)
[解題技法]
演繹推理問題的求解策略
(1)演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論．
(2)演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，當(dāng)大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．(2017·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　　)
A．乙可以知道四人的成績
B．丁可以知道四人的成績
C．乙、丁可以知道對方的成績
D．乙、丁可以知道自己的成績
解析：選D　依題意，四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成績，但還是不知道自己的成績，則乙、丙必有1位優(yōu)秀，1位良好，甲、丁必有1位優(yōu)秀，1位良好，因此，乙知道丙的成績后，必然知道自己的成績；丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績，因此選D.
2．已知函數(shù)y＝f(x)滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)＞af(b)＋bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：設(shè)x1，x2∈R，取x1＜x2，
由題意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，
∵x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)．
∴y＝f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．

一、題點全面練
1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　)
A．121　　　　　　　　　 B．123
C．231 D．211
解析：選B　令an＝an＋bn，則a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，從而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
2．(2019·柳州模擬)給出以下數(shù)對序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
記第i行的第j個數(shù)對為aij，如a43＝(3,2)，則anm＝(　　)
A．(m，n－m) B．(m－1，n－m)
C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m＋1)
解析：選D　由前4行的特點，歸納可得，若anm＝(a，b)，則a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．故選D.
3．(2018·莆田質(zhì)檢)“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，干支是天干和地支的總稱．把干支順序相配正好六十為一周，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，這就是俗稱的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸這十個符號叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥這十二符號叫地支．如公元1984年農(nóng)歷為甲子年，公元1985年農(nóng)歷為乙丑年，公元1986年農(nóng)歷為丙寅年，則公元2047年農(nóng)歷為(　　)
A．乙丑年 B．丙寅年
C．丁卯年 D．戊辰年
解析：選C　記公元1984年為第一年，則公元2047年為第64年，即天干循環(huán)了六次，第四個為“丁”．地支循環(huán)了五次，第四個為“卯”，所以公元2047年農(nóng)歷為丁卯年，故選C.
4．若a，b，c∈R，下列使用類比推理得到的結(jié)論正確的是(　　)
A．“若a·2＝b·2，則a＝b”類比推出“若a·c＝b·c，則a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”
解析：選C　對于A，“若a·2＝b·2，則a＝b”類比推出“若a·c＝b·c，則a＝b”，不正確，比如c＝0，則a，b不一定相等，故A錯；
對于B，“若(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”，而(a·b)c＝ac·b＝a·bc，故B錯；
對于C，“若(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“＝＋(c≠0)”，故C正確；
對于D，由“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”，當(dāng)n＝2時，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，故D錯．
5．(2018·南充二模)某市為了緩解交通壓力，實行機動車輛限行政策，每輛機動車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E車周四限行，B車昨天限行，從今天算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的是(　　)
A．今天是周六 B．今天是周四
C．A車周三限行 D．C車周五限行
解析：選B　因為每天至少有四輛車可以上路行駛，E車明天可以上路，E車周四限行，所以今天不是周三；因為B車昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因為A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今天不是周二，也不是周六，所以今天是周四，故選B.
6．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示，按照圖中的規(guī)律，第n個“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為________．

解析：由題意知，第1個圖中有8根火柴棒，第2個圖中有8＋6根火柴棒，第3個圖中有8＋2×6根火柴棒，……，依此類推，第n個“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為8＋6(n－1)＝6n＋2.
答案：6n＋2
7．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由題意知，凸函數(shù)滿足
≤f，
又y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，
則sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.
答案：
8．(2019·襄陽優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)將三項式(x2＋x＋1)n展開，當(dāng)n＝0,1,2,3，…時，得到以下等式：
(x2＋x＋1)0＝1，
(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，
(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，
(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，
……
觀察多項式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它正頭頂上與左右兩肩上3個數(shù)(不足3個數(shù)的，缺少的數(shù)記為0)的和，第k行共有2k＋1個數(shù)，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展開式中，x7項的系數(shù)為75，則實數(shù)a的值為________．
廣義楊輝三角
　第0行　　　　　　　1
　第1行　　　　　 1 1　1
　第2行　　　　1　2 3　2　1
　第3行　　 1　3　6 7　6　3　1
　第4行　1　4 10 16 19 1610 4　1
　　　　　　　　　　 ……
解析：根據(jù)題意可得廣義楊輝三角第5行為：
1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，
故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展開式中，x7項的系數(shù)為30＋45a＝75，解得a＝1.
答案：1
9．設(shè)f(x)＝，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明．
解：f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，
并注意到在這三個特殊式子中，自變量之和均等于1.
歸納猜想得：當(dāng)x1＋x2＝1時，均有f(x1)＋f(x2)＝.
證明：設(shè)x1＋x2＝1，
f(x1)＋f(x2)＝＋
＝＝
＝＝＝.
10．已知O是△ABC內(nèi)任意一點，連接AO，BO，CO并延長，分別交對邊于A′，B′，C′，則＋＋＝1，這是一道平面幾何題，其證明常采用“面積法”：
＋＋＝＋＋＝＝1.
請運用類比思想，對于空間中的四面體A-BCD，存在什么類似的結(jié)論，并用“體積法”證明．
解：在四面體A-BCD中，任取一點O，連接AO，DO，BO，CO并延長，分別交四個面于E，F(xiàn)，G，H點．
則＋＋＋＝1.
證明：在四面體O-BCD與A-BCD中，＝＝＝.
同理有＝；＝；＝.
故＋＋＋
＝＝＝1.
二、專項培優(yōu)練
(一)易錯專練——不丟怨枉分
1．(2019·安徽“江淮十?！甭?lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程＝x確定x＝2，則1＋等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：選C　設(shè)1＋＝x，則1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x1＝，x2＝(舍去)．故1＋＝，故選C.
2．中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外．”其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如圖，表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相同，個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推．例如6 613用算籌表示就是，則9 117用算籌可表示為(　　)

解析：選A　由定義知：千位“9”為橫式；百位“1”為縱式；十位“1”為橫式；個位“7”為縱式.故選A.
3．袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則(　　)
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球
D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
解析：選B　分析可知每次取出的兩個球有4種情況，“紅紅”“紅黑”“黑紅”“黑黑”，由于紅球個數(shù)等于黑球個數(shù)，所以取“紅紅”的次數(shù)等于取“黑黑”的次數(shù)，取“紅紅”時乙盒放入一個紅球，取“黑黑”時丙盒放入一個黑球，取“紅黑”或“黑紅”時乙盒中紅球與丙盒中黑球數(shù)量不變，所以乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多．
4．(2019·沈陽模擬)“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是________．

解析：從給出的數(shù)表可以看出，該數(shù)表每行都是等差數(shù)列，其中第一行從右到左是公差為1的等差數(shù)列，第二行從右到左的公差為2，第三行從右到左的公差為4，…，即第n行從右到左的公差為2n－1，而從右向左看，每行的第一個數(shù)分別為1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21，20＝5×22,48＝6×23，…，所以從右到左第n行的第一個數(shù)為(n＋1)×2n－2.顯然第2 019行只有一個數(shù)，其值為(2 019＋1)×22 019－2＝2 020×22 017.
答案：2 020×22 017
(二)素養(yǎng)專練——學(xué)會更學(xué)通
5．[直觀想象]我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(n)的表達式為(　　)

A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2
C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1
解析：選D　因為f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，結(jié)合圖形不難得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.
6．[邏輯推理]對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，
(1)求函數(shù)f(x)的對稱中心；
(2)計算f＋f＋f＋f＋…＋f.
解：(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.
f＝×3－×2＋3×－＝1.
由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為.
(2)由(1)知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為，
所以f＋f＝2，
即f(x)＋f(1－x)＝2.
故f＋f＝2，
f＋f＝2，
f＋f＝2，
…，
f＋f＝2.
所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 018＝2 018.