1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b.
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同號)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)；
(5)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．
3．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設a＞0，b＞0，則a，b的算術平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
4．利用基本不等式求最值問題
已知x＞0，y＞0，則
(1)如果xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)．
注：(1)此結論應用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指等號成立.
(2)連續(xù)使用基本不等式時，牢記等號要同時成立.
[小題查驗基礎]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)當a≥0，b≥0時，≥.(　　)
(2)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的．(　　)
(3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件．(　　)
(4)函數(shù)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、選填題
1．設x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　)
A．80　　　　　　　　　 B．77
C．81 D．82
答案：C
2．設0＜a＜b，則下列不等式中正確的是(　　)
A．a(chǎn)＜b＜＜ B．a(chǎn)＜＜＜b
C．a(chǎn)＜＜b＜ D.＜a＜＜b
解析：選B　因為0＜a＜b，所以a－＝(－)＜0，故a＜；b－＝＞0，故b＞；由基本不等式知＞，綜上所述，a＜＜＜b，故選B.
3．函數(shù)f(x)＝x＋的值域為(　　)
A．[－2,2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．R
解析：選C　當x＞0時，x＋≥2 ＝2.
當x＜0時，－x＞0.
－x＋≥2 ＝2.
所以x＋≤－2.
所以f(x)＝x＋的值域為(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
4．若實數(shù)x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為________．
答案：2
5．若x＞1，則x＋的最小值為________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
當且僅當x－1＝，即x＝3時等號成立．
答案：5


(一)　拼湊法——利用基本不等式求最值
[例1]　(1)已知0＜x＜1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為________．
(2)已知x＜，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________．
(3)函數(shù)y＝(x＞1)的最小值為________．
[解析]　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·2＝，當且僅當3x＝4－3x，即x＝時，取等號．故所求x的值為.
(2)因為x＜，所以5－4x＞0，
則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.當且僅當5－4x＝，即x＝1時，取等號．
故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.
(3)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
當且僅當x－1＝，即x＝＋1時，取等號．
[答案]　(1)　(2)1　(3)2＋2

通過拼湊法利用基本不等式求最值的實質(zhì)及關鍵點
拼湊法就是將相關代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵．　　
(二)　常數(shù)代換法——利用基本不等式求最值
[例2]　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的最小值為________．
[解析]　因為a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4.當且僅當a＝b＝時，取等號．
[答案]　4

1．(變條件)將條件“a＋b＝1”改為“a＋2b＝3”，則＋的最小值為________．
解析：因為a＋2b＝3，所以a＋b＝1.
所以＋＝
＝＋＋＋≥1＋2
＝1＋.當且僅當a＝b時，取等號．
答案：1＋
2．(變設問)保持本例條件不變，則的最小值為________．
解析：＝
＝＝5＋2≥5＋4＝9.當且僅當a＝b＝時，取等號．
答案：9


通過常數(shù)代換法利用基本不等式求解最值的基本步驟
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積為定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　　
(三)　消元法——利用基本不等式求最值
[例3]　已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
[解析]　法一(換元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，
因為x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2，
所以3xy≤2，當且僅當x＝3y，即x＝3，y＝1時取等號，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，則t＞0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值為6.
法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9，
得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2 －6
＝12－6＝6.即x＋3y的最小值為6.
[答案]　6

通過消元法利用基本不等式求最值的策略
當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值．　　
(四)　利用兩次基本不等式求最值
[例4]　已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值為________．
[解析]　由a＞b＞0，得a－b＞0，
∴b(a－b)≤2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，
當且僅當b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝時取等號．
∴a2＋的最小值為4.
[答案]　4

兩次利用基本不等式求最值的注意點
當連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性．　　
[過關訓練]
1．(2019·常州調(diào)研)若實數(shù)x滿足x＞－4，則函數(shù)f(x)＝x＋的最小值為________．
解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0，
∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2 －4＝2，
當且僅當x＋4＝，即x＝－1時取等號．
故函數(shù)f(x)＝x＋的最小值為2.
答案：2
2．若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是________．
解析：因為正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝.
由即解得0＜x＜1.
所以x＋2y＝x＋＝＋≥2 ＝，
當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號．
故x＋2y的最小值為.
答案：

[典例精析]
某廠家擬定在2019年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m(m≥0)萬元滿足x＝3－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．
(1)將2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2019年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？
[解]　(1)由題意知，當m＝0時，x＝1(萬件)，
所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－，
每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)，
所以2019年的利潤y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)因為m≥0時，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，
當且僅當＝m＋1?m＝3(萬元)時，
ymax＝21(萬元)．
故該廠家2019年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元．
[解題技法]
利用基本不等式解決實際問題的3個注意點
(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．
(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．
(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．
[過關訓練]
1．若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.
解析：設一邊長為x m，則另一邊長可表示為(10－x)m，
由題知0＜x＜10，則面積S＝x(10－x)≤2＝25，當且僅當x＝10－x，即x＝5時等號成立，故當矩形的長與寬相等，且都為5 m時面積取到最大值25 m2.
答案：25
2．(2019·孝感模擬)經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛的過程中每小時耗油量y(L)與速度x(km/h)(50≤x≤120)的關系可近似表示為y＝
(1)該型號汽車的速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？
(2)已知A，B兩地相距120 km，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？
解：(1)當x∈[50,80)時，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，當x＝65時，y有最小值，為×675＝9，當x∈[80,120]時，函數(shù)y＝12－單調(diào)遞減，故當x＝120時，y有最小值，為10，因為9＜10，所以該型號汽車的速度為65 km/h時，每小時耗油量最低．
(2)設總耗油量為l，由題意可知l＝y(tǒng)·，當x∈[50,80)時，l＝y(tǒng)·＝≥＝16，當且僅當x＝，即x＝70時，l取得最小值，最小值為16.當x∈[80,120]時，l＝y(tǒng)·＝－2為減函數(shù)，故當x＝120時，l取得最小值，最小值為10，因為10＜16，所以當速度為120 km/h時，總耗油量最少．

[典例精析]
(1)已知直線ax＋by＋c－1＝0(b＞0，c＞0)經(jīng)過圓C：x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則＋的最小值是(　　)
A．9　　　 B．8　　　 　C．4　　　 　D．2
(2)設等差數(shù)列{an}的公差是d，其前n項和是Sn，若a1＝d＝1，則的最小值是________．
[解析]　(1)把圓x2＋y2－2y－5＝0化成標準方程為x2＋(y－1)2＝6，所以圓心為C(0,1)．
因為直線ax＋by＋c－1＝0經(jīng)過圓心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.又b＞0，c＞0，
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9.
當且僅當b＝2c，且b＋c＝1，
即b＝，c＝時，＋取得最小值9.
(2)由題意an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝
＝≥＝，
當且僅當n＝4時取等號．
所以的最小值是.
[答案]　(1)A　(2)
[解題技法]
利用基本不等式解題的策略
(1)應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．
(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍．
[過關訓練]
1．已知函數(shù)f(x)＝x＋＋2的值域為(－∞，0]∪[4，＋∞)，則a的值是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．1 D．2
解析：選C　由題意可得a＞0，
①當x＞0時，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，
當且僅當x＝時取等號；
②當x＜0時，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，
當且僅當x＝－時取等號，
所以解得a＝1，故選C.
2．已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m＞0，n＞0，若a∥b，則＋的最小值為________．
解析：∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即2m＋n＝4.∵m＞0，n＞0，∴＋＝(n＋2m)＝×≥×＝，當且僅當4m＝n＝時取等號．∴＋的最小值是.
答案：

一、題點全面練
1．已知f(x)＝，則f(x)在上的最小值為(　　)
A.　　　　　　　　　　　B.
C．－1 D．0
解析：選D　f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，
當且僅當x＝，即x＝1時取等號．又1∈，
所以f(x)在上的最小值是0.
2．(2018·哈爾濱二模)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　)
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：選D　由1＝2x＋2y≥2，變形為2x＋y≤，即x＋y≤－2，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號．則x＋y的取值范圍是(－∞，－2]．
3．若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　)
A. B．2
C．2 D．4
解析：選C　因為＋＝，所以a＞0，b＞0，
由＝＋≥2 ＝2 ，
所以ab≥2(當且僅當b＝2a時取等號)，
所以ab的最小值為2.
4．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為(　　)
A．9 B．12
C．18 D．24
解析：選B　由＋≥，
得m≤(a＋3b)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12，
，
∴m≤12，∴m的最大值為12.
5．正數(shù)a，b滿足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
解析：選D　因為a＞0，b＞0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，當且僅當＝，即a＝4，b＝12時，等號成立．由題意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m對任意實數(shù)x恒成立，
令f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值為－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
6．(2019·青島模擬)已知x＞0，y＞0，(lg 2)x＋(lg 8)y＝lg 2，則＋的最小值是________．
解析：因為(lg 2)x＋(lg 8)y＝lg 2，所以x＋3y＝1，則＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號，故＋的最小值為4.
答案：4
7．若正數(shù)x，y滿足4x2＋9y2＋3xy＝30，則xy的最大值為________．
解析：30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，
即30≥15xy，所以xy≤2，
當且僅當4x2＝9y2，即x＝，y＝時等號成立．
故xy的最大值為2.
答案：2
8．規(guī)定：“?”表示一種運算，即a?b＝＋a＋b(a，b為正實數(shù))．若1?k＝3，則k的值為________，此時函數(shù)f(x)＝的最小值為________．
解析：由題意得1?k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值為1.
又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
當且僅當＝，即x＝1時取等號，
故函數(shù)f(x)的最小值為3.
答案：1　3
9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.
又x＞0，y＞0，
則1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
當且僅當＝，即x＝16且y＝4時，等號成立．
所以xy的最小值為64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
則x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
當且僅當＝，即x＝12且y＝6時等號成立，
所以x＋y的最小值為18.
10．(1)當x＜時，求函數(shù)y＝x＋的最大值；
(2)設0＜x＜2，求函數(shù)y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋
＝－＋.
當x＜時，有3－2x＞0，
∴＋≥2 ＝4，
當且僅當＝，即x＝－時取等號．
于是y≤－4＋＝－，故函數(shù)的最大值為－.
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，
∴y＝＝·≤ ·＝，
當且僅當x＝2－x，即x＝1時取等號，
∴當x＝1時，函數(shù)y＝的最大值為.
二、專項培優(yōu)練
(一)易錯專練——不丟怨枉分
1．已知a＞b＞1，且2logab＋3logba＝7，則a＋的最小值為(　　)
A．3 B.
C．2 D.
解析：選A　令logab＝t，由a＞b＞1得0＜t＜1,2logab＋3logba＝2t＋＝7，得t＝，即logab＝，a＝b2，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當a＝2時取等號．故a＋的最小值為3.
2．若正數(shù)a，b滿足：＋＝1，則＋的最小值為(　　)
A．2 B.
C. D．1＋
解析：選A　由a，b為正數(shù)，且＋＝1，得b＝＞0，所以a－1＞0，
所以＋＝＋＝＋
≥2 ＝2，
當且僅當＝和＋＝1同時成立，
即a＝b＝3時等號成立，
所以＋的最小值為2.
3．函數(shù)y＝1－2x－(x＜0)的值域為________．
解析：∵x＜0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2 ＝1＋2，當且僅當x＝－時取等號，故函數(shù)y＝1－2x－(x＜0)的值域為[1＋2，＋∞)．
答案：[1＋2，＋∞)
(二)交匯專練——融會巧遷移
4．[與函數(shù)交匯]已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點A，若直線＋＝－2(m＞0，n＞0)也經(jīng)過點A，則3m＋n的最小值為(　　)
A．16 B．8
C．12 D．14
解析：選B　由題意，函數(shù)f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)，
令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1，
∴圖象恒過定點A(－3，－1)．
∵直線＋＝－2(m＞0，n＞0)也經(jīng)過點A，
∴＋＝2，即＋＝1.
∴3m＋n＝(3m＋n)＝＋＋＋≥2 ＋5＝8(當且僅當n＝m＝2時，取等號)
∴3m＋n的最小值為8.
5．[與數(shù)列交匯]已知首項與公比相等的等比數(shù)列{an}中，若m，n∈N*，滿足ama＝a，則＋的最小值為(　　)
A．1 B.
C．2 D.
解析：選A　根據(jù)題意，設{an}的公比為q，
則am＝qm，an＝qn，a4＝q4.
由ama＝a得qm＋2n＝q8，
∴m＋2n＝8，∴＝1.
又m，n∈N*，∴＋＝＋＝＋＋＋≥＋2 ＝1，
當且僅當＝，即m＝2n＝4時取“＝”，
∴＋的最小值為1.
6．[與解析幾何交匯]若直線mx＋ny＋2＝0(m＞0，n＞0)被圓(x＋3)2＋(y＋1)2＝1所截得的弦長為2，則＋的最小值為(　　)
A．4 B．6
C．12 D．16
解析：選B　圓心坐標為(－3，－1)，半徑為1，又直線被圓截得的弦長為2，所以直線過圓心，所以－3m－n＋2＝0，3m＋n＝2，所以＋＝(3m＋n)＝≥＝6，當且僅當＝時取等號，因此＋的最小值為6，故選B.
7．[與線性規(guī)劃交匯]已知x，y滿足z＝2x＋y的最大值為m，若正數(shù)a，b滿足a＋b＝m，則＋的最小值為__________．
解析：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，

z＝2x＋y的幾何意義為直線2x＋y－z＝0在y軸上的截距，由圖可知，當直線過點M時，直線2x＋y－z＝0在y軸上的截距最大，即目標函數(shù)z＝2x＋y取得最大值，由解得M(3,0)，所以z的最大值為2×3＋0＝6，即m＝6，所以a＋b＝6，故＋＝·(a＋b)＝≥＝，當且僅當＝，即b＝4，a＝2時等號成立．
答案：



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