2020版高考數(shù)學(xué)（理）新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)通用版講義：第七章第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的2個步驟
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
(1)歸納奠基
證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立(初始值n0不一定為1)；
(2)歸納遞推
假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．
[注意]　證明當(dāng)n＝k＋1時命題成立一定會用到歸納假設(shè)，即假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，解題時要搞清從n＝k到n＝k＋1增加了哪些項或減少了哪些項．
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的2個步驟的意義
步驟(1)是命題論證的基礎(chǔ)，步驟(2)是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證．
這兩個步驟缺一不可，如果只有步驟(1)缺少步驟(2)，無法對n取n0后的數(shù)時結(jié)論是否正確作出判斷；如果只有步驟(2)缺少步驟(1)這個基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)就沒有意義了．
[小題查驗基礎(chǔ)]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，第一步是驗證當(dāng)n＝1時結(jié)論成立．(　　)
(2)數(shù)學(xué)歸納法主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明．(　　)
(3)證明當(dāng)n＝k＋1時命題成立用到歸納假設(shè)，即n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立．(　　)
(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、選填題
1．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗n等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：選C　三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗n＝3.
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn＝na1＋d時，假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，則Sk＝(　　)
A．a(chǎn)1＋(k－1)d B.
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
解析：選C　假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d.
3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則(　　)
A．f(n)中共有n項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋＋
解析：選D　由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1項，且n＝2時，f(2)＝＋＋.
4．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)時，第一步應(yīng)驗證的不等式的左邊為________．
答案：1＋＋
5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值應(yīng)取為n＝________.
解析：不等式的左邊＝＝2－，當(dāng)n＜8時，不等式不成立，故起始值應(yīng)取n＝8.
答案：8

考點一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式[師生共研過關(guān)]
[典例精析]
用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
[證明]　(1)當(dāng)n＝1時，
左邊＝＝，
右邊＝＝，
左邊＝右邊，所以等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，
即＋＋＋…＋＝，
則當(dāng)n＝k＋1時，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝＝.
所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．
由(1)(2)可知，對于一切n∈N*等式都成立．
[解題技法]
1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明等式的2個思路
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少．
(2)由n＝k時等式成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程．
2．口訣記憶——記牢“4句話”

[過關(guān)訓(xùn)練]
設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝f(1)＝1，
右邊＝2＝1，左邊＝右邊，等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時，結(jié)論成立，
即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，當(dāng)n＝k＋1時，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
所以當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論仍然成立．
由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
考點二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式[師生共研過關(guān)]
[典例精析]
已知函數(shù)f(x)＝x－x2，設(shè)0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N*，證明：an＜.
[證明]　(1)當(dāng)n＝1時，0＜a1＜，顯然結(jié)論成立．
因為當(dāng)x∈時，0＜f(x)≤，
所以0＜a2＝f(a1)≤＜.
故n＝2時，原不等式也成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時，
不等式0＜ak＜成立．
因為f(x)＝x－x2的對稱軸方程為x＝，
所以當(dāng)x∈時，f(x)為增函數(shù)．
所以由0＜ak＜≤，
得0＜f(ak)＜f.
于是，0＜ak＋1＝f(ak)＜－·＋－＝－＜.
所以當(dāng)n＝k＋1時，原不等式也成立．
由(1)(2)可知，對任何n∈N*，不等式an＜成立．
[解題技法]
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的2個問題
(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，用其他方法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明．運(yùn)用放縮法時，要注意放縮的“度”．
[過關(guān)訓(xùn)練]
設(shè)整數(shù)p＞1，n∈N*.證明：當(dāng)x＞－1且x≠0時，(1＋x)p＞1＋px.
證明：(1)當(dāng)p＝2時，(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，原不等式成立．
(2)假設(shè)p＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式(1＋x)k＞1＋kx成立．
當(dāng)p＝k＋1時，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.
所以當(dāng)p＝k＋1時，原不等式也成立．
綜合(1)(2)可得，當(dāng)x＞－1，且x≠0時，對一切正整數(shù)p＞1，不等式(1＋x)p＞1＋px均成立．
考點三歸納—猜想—證明[師生共研過關(guān)]
[典例精析]
已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式；
(2)證明通項公式的正確性．
[解]　(1)當(dāng)n＝1時，由已知得a1＝＋－1，
即a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1＞0)．
當(dāng)n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1，
將a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2＞0)．同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N*)．
(2)證明：①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時，通項公式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時，通項公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
將ak＝－代入上式，
整理得a＋2 ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝－，
即n＝k＋1時通項公式成立．
由①②可知對所有n∈N*，an＝－都成立．
[解題技法]
歸納—猜想—證明的應(yīng)用策略
(1)一般思路：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用．其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式．
(2)基本步驟：“試驗—歸納—猜想—證明”．高中階段該部分與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題．
[過關(guān)訓(xùn)練]
已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.
(1)當(dāng)n＝1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大??；
(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．
解：(1)當(dāng)n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；
當(dāng)n＝2時，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；
當(dāng)n＝3時，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．
(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．
①當(dāng)n＝1,2,3時，不等式顯然成立，
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時不等式成立，
即1＋＋＋＋…＋＜－.
那么，當(dāng)n＝k＋1時，
f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.
因為f(k＋1)－g(k＋1)＜－＋－＝－
＝－＝＜0，
所以f(k＋1)＜g(k＋1)．
由①②可知，對一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．

1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，則f(1)的值為(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　　B.
C．1＋＋＋＋ D．非以上答案
解析：選C　等式右邊的分母是從1開始的連續(xù)的自然數(shù)，且最大分母為6n－1，則當(dāng)n＝1時，最大分母為5，故選C.
2．下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是(　　)
A．x＞sin x，x∈(0，π)
B．ex≥x＋1(x∈R)
C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*)
D．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)
解析：選C　數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，由此可知選項C符合題意．
3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是(　　)
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析：選A　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
4．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k到n＝k＋1時，左邊增加了(　　)
A．1項 B．k項
C．2k－1項 D．2k項
解析：選D　令不等式的左邊為g(n)，則
g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，
其項數(shù)為2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.
故左邊增加了2k項．
5．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在驗證n＝1成立時，左邊所得的項為___________．
解析：當(dāng)n＝1時，n＋1＝2，所以左邊＝1＋a＋a2.
答案：1＋a＋a2
6．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋＞－，假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是____________________________________．
解析：觀察不等式中分母的變化便知．
答案：＋＋…＋＋＞－
7．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝12＝1，
右邊＝(－1)0×＝1，左邊＝右邊，原等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.
那么，當(dāng)n＝k＋1時，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k·.
∴n＝k＋1時，等式也成立，
由(1)(2)知對任意n∈N*，都有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
8．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
證明：(1)當(dāng)n＝1時，
左邊＝1＋，右邊＝＋1，
所以≤1＋≤，即命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時命題成立，即
1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
則當(dāng)n＝k＋1時，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1時，命題成立．
由(1)(2)可知，命題對所有n∈N*都成立．
9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝a＞2，an＝(n≥2，n∈N*)．
(1)求證：對任意n∈N*，an＞2恒成立；
(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，并說明你的理由；
(3)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，求證：當(dāng)a＝3時，Sn＜2n＋.
解：(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明an＞2(n∈N*)恒成立．
①當(dāng)n＝1時，a1＝a＞2，結(jié)論成立；
②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時結(jié)論成立，即ak＞2，
則n＝k＋1時，ak＋1＝＞＝2，
所以n＝k＋1時，結(jié)論成立．
故由①②及數(shù)學(xué)歸納法，知對一切的n∈N*，都有an＞2成立．
(2)數(shù)列{an}是單調(diào)遞減的數(shù)列．
因為a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an＞2，
所以a－a＜0，所以an＋1＜an.
所以{an}是單調(diào)遞減的數(shù)列．
(3)證明：由an＋1＝，得a＝an＋2，
所以a－4＝an－2.
根據(jù)(1)知an＞2(n∈N*)，
所以＝＜，
所以an＋1－2＜(an－2)＜2(an－1－2)＜…＜n·(a1－2)．
所以當(dāng)a＝3時，an＋1－2＜n，即an＋1＜n＋2.
當(dāng)n＝1時，S1＝3＜2＋，
當(dāng)n≥2時，
Sn＝3＋a2＋a3＋…＋an
＜3＋＋＋…＋
＝3＋2(n－1)＋
＝2n＋1＋＜2n＋.
綜上，當(dāng)a＝3時，Sn＜2n＋(n∈N*)．