2019考綱考題考情



1．雙曲線的概念
平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距。
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a＞0，c＞0}。
(1)當(dāng)a＜c時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線。
(2)當(dāng)a＝c時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線。
(3)當(dāng)a＞c時(shí)，M點(diǎn)不存在。
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)




1．雙曲線定義的四點(diǎn)辨析
(1)當(dāng)00)表示的曲線
(1)當(dāng)m>0，n>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。
(2)當(dāng)m0，b>0)，由橢圓＋＝1，得焦點(diǎn)為(±1,0)，頂點(diǎn)為(±2,0)。所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1，0)，焦點(diǎn)為(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1。
答案　x2－＝1
二、走近高考
3．(2018·浙江高考)雙曲線－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
解析　由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)閏2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)。故選B。
答案　B
4．(2018·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是________。
解析　不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以雙曲線的離心率e＝＝2。
答案　2
5．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(　　)
A．　　 　B．2 C．　　　D．2
解析　由離心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x。由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為＝2。故選D。

解析：離心率e＝的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為＝2。故選D。

答案　D
三、走出誤區(qū)
微提醒：①忽視雙曲線定義的條件致誤；②忽視雙曲線焦點(diǎn)的位置致誤。
6．平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是________。
解析　由|PF1|－|PF2|＝60，b>0)的離心率為2，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線C上，若△AF1F2的周長(zhǎng)為10a，則△AF1F2的面積為(　　)
A．2a2 B．a(chǎn)2
C．30a2 D．15a2
解析　由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A在雙曲線的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，所以△AF1F2的周長(zhǎng)為|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周長(zhǎng)為10a，所以|AF1|＋|AF2|＝6a，又因?yàn)閨AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，所以cos∠F1AF2＝＝＝。所以sin∠F1AF2＝，所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2。故選B。
答案　B

雙曲線定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)考查方向：一是利用定義求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是利用雙曲線上點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值||PF1|－|PF2||＝2a(其中00)
C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析　(1)由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，設(shè)其方程為－＝1(x>0，a>0，b>0)，由題設(shè)知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以點(diǎn)P的軌跡方程為－＝1(x>0)。
(2)由雙曲線的方程得a＝1，c＝，由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2。在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4。
答案　(1)B　(2)B
考點(diǎn)二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】　(1)(2019·德州二中模擬)“00)，雙曲線N：－＝1。若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_(kāi)_______；雙曲線N的離心率為_(kāi)_______。
解析　設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F(c,0)，雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，由題意可知A，由點(diǎn)A在橢圓M上得，＋＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，因?yàn)閎2＝a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以e－8e＋4＝0，所以e＝4±2，所以e橢＝＋1(舍去)或e橢＝－1，所以橢圓M的離心率為－1，因?yàn)殡p曲線的漸近線過(guò)點(diǎn)A，所以一條漸近線方程為y＝x，所以＝，故雙曲線的離心率e雙＝ ＝2。

答案?。?　2
3．(方向3)已知離心率為的雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是(　　)
A．32 B．16
C．8 D．4
解析　由題意知F2(c,0)，不妨令點(diǎn)M在漸近線y＝x上，由題意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a。由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16。故選B。
答案　B
考點(diǎn)四 直線與雙曲線的位置關(guān)系
【例6】　已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e＝，虛軸長(zhǎng)為2。
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l：y＝kx＋m與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B均異于左、右頂點(diǎn))，且以線段AB為直徑的圓過(guò)雙曲線C的左頂點(diǎn)D，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)。
解　(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)。
由已知得＝，2b＝2，又a2＋b2＝c2，所以a＝2，b＝1，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1。
(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，
所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)>0，x1＋x2＝>0，x1x2＝0，所以可得＝，所以a＝2。于是，由雙曲線的定義得|6－|PF2||＝2a＝4，解得|PF2|＝2或|PF2|＝10。又|PF1|＝6>a＋c＝2＋，所以點(diǎn)P可能在雙曲線的右支上，也可能在左支上，故所求|PF2|＝2或|PF2|＝10均有可能。故選D。
答案　D
2．(配合例2使用)已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2都在x軸上，對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，離心率為。若點(diǎn)M在C上，且MF1⊥MF2，M到原點(diǎn)的距離為，則C的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析　由題意可知，OM為RtΔMF1F2斜邊上的中線，所以|OM|＝|F1F2|＝c。由M到原點(diǎn)的距離為，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2。故雙曲線C的方程為x2－＝1。故選C。
答案　C
3．(配合例4使用)過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝a2的切線FM，切點(diǎn)為M，交y軸于點(diǎn)P，若＝λ，且雙曲線的離心率e＝，則λ＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　如圖，|OF|＝c，|OM|＝a，OM⊥PF，所以|MF|＝b，根據(jù)射影定理得|PF|＝，所以|PM|＝－b，所以λ＝＝＝＝。因?yàn)閑2＝＝＝1＋＝2＝，所以＝。所以λ＝2。故選B。

答案　B
4．(配合例5使用)已知雙曲線C：x2－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線C上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為，且·>0，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為(　　)
A．∪
B．
C．∪
D．
解析　由題易知四邊形PAOB為平行四邊形，且不妨設(shè)雙曲線C的漸近線OA：bx－y＝0，OB：bx＋y＝0。設(shè)點(diǎn)P(m，n)，則直線PB的方程為y－n＝b(x－m)，且點(diǎn)P到漸近線OB的距離為d＝。由解得所以B，所以|OB|＝＝|bm－n|，
所以S?PAOB＝|OB|·d＝。又因?yàn)閙2－＝1，所以b2m2－n2＝b2，所以S?PAOB＝b。又S?PAOB＝，所以b＝2，所以雙曲線C的方程為x2－＝1，所以c＝3，所以F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，所以·＝(－3－m)(3－m)＋n2>0，即m2－9＋n2>0，又因?yàn)閙2－＝1，所以m2－9＋8(m2－1)>0，解得m>或m

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