2020版《微點教程》高考人教A版文科數(shù)學一輪復習文檔：第二章第六節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 學案-學案下載-教習網(wǎng)

第六節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
2019考綱考題考情

1．對數(shù)的概念
(1)對數(shù)的定義
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
(2)幾種常見對數(shù)
對數(shù)形式
特點
記法
一般對數(shù)
底數(shù)為a(a＞0，且a≠1)　
logaN
常用對數(shù)
底數(shù)為10　
lgN
自然對數(shù)
底數(shù)為e　
lnN
2.對數(shù)的性質與運算法則
(1)對數(shù)的性質
①alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)。
②logaaN＝N(a＞0，且a≠1)。
(2)對數(shù)的重要公式
①換底公式：logbN＝(a，b均大于零，且不等于1，N>0)。
②logab＝，推廣logab·logbc·logcd＝logad。
(3)對數(shù)的運算法則
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN。
②loga＝logaM－logaN。
③logaMn＝nlogaM(n∈R)。
④logamMn＝logaM(m，n∈R)。
3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質

4.y＝ax與y＝logax(a＞0，a≠1)的關系
指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y＝x對稱。
　
1．指數(shù)與對數(shù)的等價關系：ax＝N?x＝logaN。
2．換底公式的三個重要結論
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad。

3．對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù)。
故0b>a D．c>a>b
解析　因為0b。故選D。
答案　D
二、走近高考
3．(2018·全國卷Ⅲ)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關于直線x＝1對稱的是(　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析　y＝lnx圖象上的點P(1,0)關于直線x＝1的對稱點是它本身，則點P在y＝lnx圖象關于直線x＝1對稱的圖象上，結合選項可知，B項正確。故選B。

解析：設Q(x，y)是所求函數(shù)圖象上任一點，則其關于直線x＝1的對稱點P(2－x，y)在函數(shù)y＝lnx圖象上，所以y＝ln(2－x)。故選B。

答案　B
4．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ log2(x2＋a)，若f(3)＝1，則a＝________。
解析　根據(jù)題意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7。
答案?。?
三、走出誤區(qū)
微提醒：①對數(shù)的運算性質不熟致誤；②對數(shù)函數(shù)的圖象特征不熟致誤；③忽視對底數(shù)的討論致誤。
5．有下列結論：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，則x＝10；④若log22＝x，則x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，則n＝9。其中正確結論的序號是________。
解析?、賚g10＝1，則lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③底的對數(shù)等于1，則x＝10；④底的對數(shù)等于1；⑤logmn＝，log3m＝，則＝2，即log3n＝2，故n＝9。
答案?、佗冖邰堍?br /> 6．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是(　　)

A．a(chǎn)>1，c>1 B．a(chǎn)>1,0a D．a(chǎn)>c>b
解析　(1)由于y＝a|x|的值域為{y|y≥1}，所以a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關于y軸對稱。因此y＝loga|x|的圖象應大致為選項B。
(2)

令f(x)＝2x3＋x－2，則f(x)在R上單調遞增，且f(0)·f(1)＝－2×1＝－2c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析　log＝log3－15－1＝log35，因為函數(shù)y＝log3x為增函數(shù)，所以log35>log3>log33＝1，因為函數(shù)y＝x為減函數(shù)，所以a>b。故選D。
答案　D

對數(shù)值的大小比較方法：①化為同底的對數(shù)后利用函數(shù)的單調性比較；②利用作差或作商法比較；③利用中間值(0或1)比較；④化為同真數(shù)的對數(shù)后利用圖象比較。
方向2：解不等式
【例4】　(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝log3x，則滿足不等式f(x)>0的x的取值范圍是________。
(2)設函數(shù)f(x)＝若f(a)0的x的取值范圍是(－1，0)∪(1，＋∞)。

答案　(1)(－1,0)∪(1，＋∞)　(2)(－∞，－1)∪(0,1)

解此類不等式的關鍵是利用函數(shù)的單調性脫去函數(shù)符號“f”，變原函數(shù)不等式為對數(shù)不等式，再把對數(shù)不等式化為同底的對數(shù)不等式，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性進行求解。
方向3：對數(shù)性質的綜合應用
【例5】　已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)。
(1)若f(1)＝1，求f(x)的單調區(qū)間；
(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由。
解　(1)因為f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，
這時f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)。
由－x2＋2x＋3>0，得－1