2020版《微點教程》高考人教A版文科數(shù)學一輪復習文檔：第八章第五節(jié)　橢圓學案-學案下載-教習網(wǎng)

2019考綱考題考情

1．橢圓的概念
平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫橢圓。這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)}。
(1)若a＞c，則M點的軌跡為橢圓。
(2)若a＝c，則M點的軌跡為線段F1F2。
(3)若a＜c，則M點不存在。
2．橢圓的標準方程和幾何性質

1．橢圓方程中的a，b，c
(1)a，b，c關系：a2＝b2＋c2。
(2)e與：因為e＝＝＝，所以離心率e越大，則越小，橢圓就越扁；離心率e越小，則越大，橢圓就越圓。
2．在求焦點在x軸上橢圓的相關量的范圍時，要注意應用以下不等關系：－a≤x≤a，－b≤y≤b,00，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8。所以m＝4或8。
答案　C
7．已知點P是橢圓＋＝1上y軸右側的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為________________。
解析　設P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)。由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P點坐標為或。
答案　或
第1課時　橢圓的定義及簡單幾何性質

考點一橢圓的定義及應用
【例1】　(1)過橢圓＋y2＝1的左焦點F1作直線l交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)2是橢圓右焦點，則△ABF2的周長為(　　)
A．8 B．4
C．4 D．2
(2)在平面直角坐標系xOy中，P是橢圓＋＝1上的一個動點，點A(1,1)，B(0，－1)，則|PA|＋|PB|的最大值為(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
解析　(1)因為＋y2＝1，所以a＝2。由橢圓的定義可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，且|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，所以△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝8。故選A。
(2)因為橢圓方程為＋＝1，所以焦點為B(0，－1)和B′(0,1)，連接PB′，AB′，根據(jù)橢圓的定義，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)。因為|PA|－|PB′|≤|AB′|，所以|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，當且僅當P在AB′延長線上時，等號成立。故|PA|＋|PB|的最大值為5。
答案　(1)A　(2)A

橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓；二是當P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過整體代入可求其面積等。面積公式S△PF1F2＝b2tan(其中θ＝∠F1PF2)。
【變式訓練】　(1)(2019·惠州調研)設F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知橢圓＋＝1上一點P與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2的連線夾角為直角，則|PF1|·|PF2|＝________。
解析　(1)如圖，設線段PF1的中點為M，因為O是F1F2的中點，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x軸，可求得|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝。故選D。

(2)依題意a＝7，b＝2，c＝＝5，|F1F2|＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝100。又由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100。解得|PF1|·|PF2|＝48。
答案　(1)D　(2)48
考點二橢圓的標準方程
【例2】　(1)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，(，)，則橢圓的標準方程為________。
(2)設F1、F2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若△F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為________。
解析　(1)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)。由解得m＝，n＝，故橢圓的標準方程為＋＝1。
(2)因為△F2AB是面積為4的等邊三角形，所以AB⊥x軸，所以A，B兩點的橫坐標為－c，代入橢圓方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝。又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，所以＝×2c?、佟Ｓ諷△F2AB＝×2c×＝4?、?，a2＝b2＋c2　③，由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，所以橢圓C的方程為＋＝1。
答案　(1)＋＝1　(2)＋＝1

1．求橢圓方程的基本方法是待定系數(shù)法，先定位，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后根據(jù)條件建立關于a，b的方程組。
2．如果焦點位置不確定，可設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，求出m，n的值即可。
3．橢圓的通徑(過焦點且與長軸垂直的弦)長為。
【變式訓練】　(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓M在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
(2)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(01)上兩點A，B滿足＝2，則當m＝________時，點B橫坐標的絕對值最大。
解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2。因為點A，B在橢圓上，所以得y2＝m＋，所以y1＝，x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以當m＝5時，點B橫坐標的絕對值最大，最大值為2。
答案　5

與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法
1．利用數(shù)形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質，求最值或取值范圍。
2．利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍。
3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍。
4．利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍。
【題點對應練】　
1．(方向1)P是橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點，A為左頂點，F(xiàn)為右焦點，PF⊥x軸，若tan∠PAF＝，則橢圓的離心率e為(　　)
A． B．
C． D．
解析　如圖，不妨設點P在第一象限，因為PF⊥x軸，所以xP＝c，將xP＝c代入橢圓方程得yP＝，即|PF|＝，則tan∠PAF＝＝＝，結合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，兩邊同時除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)。故選D。

答案　D
2．(方向1)若橢圓上存在點P，使得點P到兩個焦點的距離之比為2∶1，則此橢圓離心率的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
解析　設P到兩個焦點的距離分別為2k，k，根據(jù)橢圓定義可知：3k＝2a，又結合橢圓的性質可知，橢圓上的點到兩個焦點距離之差的最大值為2c，即k≤2c，所以2a≤6c，即e≥。又因為0b>0)的左頂點和上頂點分別為A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1⊥PF2，則橢圓的離心率的平方為(　　)
A． B．
C． D．
解析　由題意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1⊥PF2，得點P是以點O為圓心，線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2與線段AB的切點，連接OP，則OP⊥AB，且OP＝c，即點O到直線AB的距離為c。又直線AB的方程為y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，點O到直線AB的距離d＝＝c，兩邊同時平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，兩邊同時除以a4，得2＋－1＝0，可得＝，則e2＝＝＝1－＝1－＝。故選B。
答案　B
4．(配合例4使用)已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，點P(x0，y0)滿足00)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA。
(1)當|AM|＝|AN|時，求△AMN的面積；
(2)當2|AM|＝|AN|時，證明：0)代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0。
由x1·(－2)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝。
由題設，直線AN的方程為y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝。
由2|AM|＝|AN|得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0。
設f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，則k是f(t)的零點，
f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，
所以f(t)在(0，＋∞)內單調遞增。
又f()＝15－260，因此f(t)在(0，＋∞)內有唯一的零點，且零點k在(，2)內，所以0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，且有|PF1|＋|PF2|＝2。
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求△AOB(O為坐標原點)面積的最大值。
解　(1)由|PF1|＋|PF2|＝2，得2a＝2，所以a＝。
將P代入＋＝1，得b2＝1。
所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1。
(2)由已知，直線l的斜率為零時，不合題意，
設直線l的方程為x－1＝my，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立，得消去x化簡整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
由根與系數(shù)的關系，得
S△AOB＝|OF2|·|y1－y2|
＝
＝
＝×
＝×
＝×
≤×
＝，
當且僅當m2＋1＝，即m＝0時，等號成立，
所以△AOB面積的最大值為。

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何法，即利用圓錐曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是代數(shù)法，即把要求最值的代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)，然后利用導數(shù)、不等式等進行求解。
【變式訓練】　(2019·長春質監(jiān))已知橢圓C的兩個焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過點E。
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(點A位于x軸上方)，若＝λ，且2≤λb>0)，
由解得
所以橢圓C的方程為＋＝1。
(2)由題意得直線l的方程為y＝k(x＋1)(k>0)，
聯(lián)立方程，得
整理得y2－y－9＝0，
Δ＝＋144>0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝λ，所以y1＝－λy2，
所以y1y2＝(y1＋y2)2，
則＝，λ＋－2＝，
因為2≤λ2，所以點P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點的橢圓，其中2a＝4,2c＝2，
所以P點的軌跡C的方程是＋y2＝1。
(2)①當矩形的邊與坐標軸垂直或平行時，易得S＝8。
②當矩形的邊均不與坐標軸垂直或平行時，其四邊所在直線的斜率存在且不為0，
設直線AB的方程為y＝k1x＋m，直線BC的方程為y＝k2x＋n，則直線CD的方程為y＝k1x－m，直線AD的方程為y＝k2x－n，其中k1·k2＝－1，
直線AB與CD間的距離d1＝＝，
同理直線BC與AD間的距離d2＝＝，
所以S＝d1·d2＝·。
由得x2＋2k1mx＋m2－1＝0。
因為直線AB與橢圓相切，所以Δ＝4k＋1－m2＝0，
所以|m|＝，同理|n|＝，
所以S＝
＝
＝
＝4·
＝4·，
因為k＋≥2(當且僅當k1＝±1時，不等式取等號)，
所以4