2019考綱考題考情



1．雙曲線的概念
平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距。
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a＞0，c＞0}。
(1)當(dāng)a＜c時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線。
(2)當(dāng)a＝c時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線。
(3)當(dāng)a＞c時(shí)，M點(diǎn)不存在。
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
圖形


性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸
對(duì)稱中心：原點(diǎn)
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸
對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
頂點(diǎn)坐標(biāo)：
A1(－a,0)，A2(a,0)
頂點(diǎn)坐標(biāo)：
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
性質(zhì)
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長

1．雙曲線定義的四點(diǎn)辨析
(1)當(dāng)00)表示的曲線
(1)當(dāng)m>0，n>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。
(2)當(dāng)m0，b>0)，由橢圓＋＝1，得焦點(diǎn)為(±1,0)，頂點(diǎn)為(±2,0)。所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1，0)，焦點(diǎn)為(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1。
答案　x2－＝1
二、走近高考
3．(2018·浙江高考)雙曲線－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
解析　由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)閏2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)。故選B。
答案　B
4．(2018·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是________。
解析　不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以雙曲線的離心率e＝＝2。
答案　2
5．(2017·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析　由y＝x，可得＝?！、儆蓹E圓＋＝1的焦點(diǎn)為(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9?！、谟散佗诳傻胊2＝4，b2＝5。所以C的方程為－＝1。故選B。
答案　B
三、走出誤區(qū)
微提醒：①忽視雙曲線定義的條件致誤；②忽視雙曲線焦點(diǎn)的位置致誤。
6．平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是________。
解析　由|PF1|－|PF2|＝60，b>0)的離心率為2，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線C上，若△AF1F2的周長為10a，則△AF1F2的面積為(　　)
A．2a2 B．a(chǎn)2
C．30a2 D．15a2
解析　由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A在雙曲線的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，所以△AF1F2的周長為|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周長為10a，所以|AF1|＋|AF2|＝6a，又因?yàn)閨AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，所以cos∠F1AF2＝＝＝。所以sin∠F1AF2＝，所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2。故選B。
答案　B



雙曲線定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)考查方向：一是利用定義求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是利用雙曲線上點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值||PF1|－|PF2||＝2a(其中00)
C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析　(1)由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，設(shè)其方程為－＝1(x>0，a>0，b>0)，由題設(shè)知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以點(diǎn)P的軌跡方程為－＝1(x>0)。
(2)由雙曲線的方程得a＝1，c＝，由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2。在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4。
答案　(1)B　(2)B
考點(diǎn)二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】　(1)(2019·德州二中模擬)“00)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實(shí)軸長是(　　)
A．32 B．16
C．8 D．4
解析　由題意知F2(c,0)，不妨令點(diǎn)M在漸近線y＝x上，由題意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a。由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以雙曲線C的實(shí)軸長為16。故選B。
答案　B
考點(diǎn)四 直線與雙曲線的位置關(guān)系
【例6】　已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e＝，虛軸長為2。
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l：y＝kx＋m與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B均異于左、右頂點(diǎn))，且以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點(diǎn)D，求證：直線l過定點(diǎn)。
解　(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)。
由已知得＝，2b＝2，
又a2＋b2＝c2，所以a＝2，b＝1，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1。
(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立
得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，
所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝。
因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點(diǎn)D(－2,0)，所以kAD·kBD＝－1，
即·＝－1，
所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，
即＋＋＋4＝0，
所以3m2－16mk＋20k2＝0，
解得m＝2k或m＝。
當(dāng)m＝2k時(shí)，l的方程為y＝k(x＋2)，直線過定點(diǎn)(－2,0)，與已知矛盾；
當(dāng)m＝時(shí)，l的方程為y＝k，直線過定點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件。
故直線l過定點(diǎn)。



研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消元得關(guān)于x或y的一元二次方程。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線某支相交于一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式Δ來判定。對(duì)于中點(diǎn)弦問題常用“點(diǎn)差法”，但需要檢驗(yàn)。
【變式訓(xùn)練】　已知雙曲線y2－＝1與不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸的直線l相交于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為P，設(shè)直線l的斜率為k1，直線OP的斜率為k2，則k1k2＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
解析　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，則y－＝1，y－＝1，兩式相減可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直線l的斜率k1＝＝＝，又直線OP的斜率k2＝，所以k1k2＝·＝。故選A。
答案　A

1．(配合例1使用)P是雙曲線－＝1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線的方程為3x－2y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝6，則|PF2|＝(　　)
A．9 B．2
C．10 D．2或10
解析　因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的方程為3x－2y＝0，即y＝x，又雙曲線的漸近線方程為y＝±x，不妨設(shè)a>0，所以可得＝，所以a＝2。于是，由雙曲線的定義得|6－|PF2||＝2a＝4，解得|PF2|＝2或|PF2|＝10。又|PF1|＝6>a＋c＝2＋，所以點(diǎn)P可能在雙曲線的右支上，也可能在左支上，故所求|PF2|＝2或|PF2|＝10均有可能。故選D。
答案　D
2．(配合例2使用)已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2都在x軸上，對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，離心率為。若點(diǎn)M在C上，且MF1⊥MF2，M到原點(diǎn)的距離為，則C的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析　由題意可知，OM為RtΔMF1F2斜邊上的中線，所以|OM|＝|F1F2|＝c。由M到原點(diǎn)的距離為，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2。故雙曲線C的方程為x2－＝1。故選C。
答案　C
3．(配合例4使用)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝a2的切線FM，切點(diǎn)為M，交y軸于點(diǎn)P，若＝λ，且雙曲線的離心率e＝，則λ＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　如圖，|OF|＝c，|OM|＝a，OM⊥PF，所以|MF|＝b，根據(jù)射影定理得|PF|＝，所以|PM|＝－b，所以λ＝＝＝＝。因?yàn)閑2＝＝＝1＋＝2＝，所以＝。所以λ＝2。故選B。

答案　B
4．(配合例5使用)已知雙曲線C：x2－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線C上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為，且·>0，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為(　　)
A．∪
B．
C．∪
D．
解析　由題易知四邊形PAOB為平行四邊形，且不妨設(shè)雙曲線C的漸近線OA：bx－y＝0，OB：bx＋y＝0。設(shè)點(diǎn)P(m，n)，則直線PB的方程為y－n＝b(x－m)，且點(diǎn)P到漸近線OB的距離為d＝。由解得所以B，所以|OB|＝＝|bm－n|，所以S?PAOB＝|OB|·d＝。又因?yàn)閙2－＝1，所以b2m2－n2＝b2，所以S?PAOB＝b。又S?PAOB＝，所以b＝2，所以雙曲線C的方程為x2－＝1，所以c＝3，所以F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，所以·＝(－3－m)(3－m)＋n2>0，即m2－9＋n2>0，又因?yàn)閙2－＝1，所以m2－9＋8(m2－1)>0，解得m>或m

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部