2019考綱考題考情



1．直線與圓的位置關(guān)系與判斷方法

2.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)。

3.兩圓公切線的條數(shù)


1．關(guān)注一個(gè)直角三角形
當(dāng)直線與圓相交時(shí)，由弦心距(圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形。
2．兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程
設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0。

一、走進(jìn)教材
1．(必修2P128練習(xí)T4改編)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為，所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1。
答案　C
2．(必修2P133A組T9改編)圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________。
解析　由得x－y＋2＝0。又圓x2＋y2＝4的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為＝。由勾股定理得弦長的一半為＝，所以所求弦長為2。
答案　2
二、走近高考
3．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析　因?yàn)橹本€x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)。所以A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2。由圓(x－2)2＋y2＝2可得圓心坐標(biāo)為(2,0)，r＝，△ABP的面積記為S，點(diǎn)P到直線AB的距離記為d，則有S＝|AB|·d＝d，又圓心到直線的距離d′＝＝2，則dmax＝3，dmin＝，所以2≤S≤6。故選A。
答案　A
4．(2018·全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________。
解析　根據(jù)題意，圓的方程可化為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓的圓心為(0，－1)，且半徑是2，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得圓心到直線的距離d＝＝，可知|AB|＝2＝2。
答案　2
三、走出誤區(qū)
微提醒：①忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形；②忽視切線斜率k不存在的情形；③求弦所在直線的方程時(shí)遺漏一解。
5．若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則常數(shù)a＝________。
解析　兩圓的圓心距d＝，由兩圓相切(外切或內(nèi)切)，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0。
答案　±2或0
6．已知圓C：x2＋y2＝9，過點(diǎn)P(3,1)作圓C的切線，則切線方程為________。
解析　由題意知P在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x＝3，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，所以切線方程為y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切線方程為4x＋3y－15＝0。綜上，切線方程為x＝3或4x＋3y－15＝0。
答案　x＝3或4x＋3y－15＝0
7．若直線過點(diǎn)P且被圓x2＋y2＝25截得的弦長是8，則該直線的方程為______________。
解析　當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，該直線的方程為x＝－3，代入圓的方程得y＝±4，故該直線被圓截得的弦長為8，滿足題意。當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，則圓心到直線的距離d＝，則2＝8，解得k＝－，所以直線方程為3x＋4y＋15＝0。綜上所述，所求直線方程為x＝－3或3x＋4y＋15＝0。
答案　x＝－3或3x＋4y＋15＝0

考點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系
【例1】　(2019·西安八校聯(lián)考)若過點(diǎn)A(3,0)的直線l與曲線(x－1)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為(　　)
A．(－，) B．[－，]
C． D．
解析　數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)，則圓心(1,0)到直線y＝k(x－3)的距離應(yīng)小于等于半徑1，即≤1，解得－≤k≤。故選D。

解析：數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，當(dāng)k＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－3＝0，圓心(1,0)到直線l的距離為＝>1，直線與圓相離，故排除A，B；當(dāng)k＝時(shí)，直線l的方程為x－y－3＝0，圓心(1,0)到直線l的距離為＝1，直線與圓相切，排除C。故選D。

答案　D

判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
1．幾何法：利用d與r的關(guān)系。
2．代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷。
3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交。
【變式訓(xùn)練】　(1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　)
A．相切　　 B．相交 C．相離　　 D．不確定
(2)圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為(　　)
A．相離 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
解析　(1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＝

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