第二節(jié)　兩條直線的交點(diǎn)與距離公式
2019考綱考題考情



1．兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2。特別地，當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行。
與Ax＋By＋C＝0平行的直線，可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C)。
(2)兩條直線垂直：如果兩條直線l1、l2斜率存在，設(shè)為k1、k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1。特別地，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩直線垂直。
與Ax＋By＋C＝0垂直的直線可設(shè)為Bx－Ay＋n＝0。
2．兩直線相交
(1)交點(diǎn)：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng)。
(2)相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解。
(3)平行?方程組無(wú)解。
(4)重合?方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解。
3．三種距離公式
(1)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)間的距離為
|AB|＝ 。
(2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離為
d＝。
(3)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)間的距離為d＝。
4．對(duì)稱問(wèn)題
(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x0,2b－y0)。
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′。

1．兩直線垂直的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0。
2．過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2。
3．點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件
(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式。
(2)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

一、走進(jìn)教材
1．(必修2P101A組T10改編)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝________。
解析　由題意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1。
答案　1
2．(必修2P114A組T10改編)已知直線3x＋y－3＝0與直線6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為(　　)
A．4 B．
C． D．
解析　由兩直線平行，可得m＝2，直線3x＋y－3＝0變形為6x＋2y－6＝0，所以兩直線間的距離d＝＝。故選D。
答案　D
二、走近高考
3．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(　　)
A． B．2
C．2 D．3
解析　由題意知F(1,0)，直線FM的方程為y＝(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立得y2－y－4＝0，因?yàn)镸在x軸上方，解得M的縱坐標(biāo)為2，則M(3,2)。由l：x＝－1，MN⊥l得N(－1，2)，所以直線NF的方程為y＝－x＋，即x＋y－＝0，點(diǎn)M到NF的距離d＝＝2。故選C。
答案　C
三、走出誤區(qū)
微提醒：①判斷兩條直線的位置關(guān)系忽視斜率不存在的情況；②求平行線間距離忽視x，y的系數(shù)相同。
4．若直線l1：x＋y－1＝0與直線l2：x＋a2y＋a＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝________。
解析　因?yàn)橹本€l1的斜率k1＝－1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠－1，所以a＝1。
答案　1
5．已知P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為_(kāi)_______。
解析　先把兩直線方程化為同系數(shù)方程：6x＋8y－24＝0和6x＋8y＋5＝0，|PQ|的最小值即為兩平行直線間的距離，故d＝＝。
答案　
6．過(guò)兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為_(kāi)_________________。
解析　過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得λ＝－，故所求直線方程為x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0。
答案　3x＋19y＝0

考點(diǎn)一 兩條直線的平行與垂直問(wèn)題
【例1】　(1)已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3。若l1∥l2，l2⊥l3，則實(shí)數(shù)m＋n的值為(　　)
A．－10 B．－2
C．0 D．8
(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，－1)和點(diǎn)Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______。
解析　(1)因?yàn)閘1∥l2，所以＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(經(jīng)檢驗(yàn)，l1與l2不重合)，因?yàn)閘2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10。
(2)l1的斜率k1＝＝a。當(dāng)a≠0時(shí)，l2的斜率k2＝＝。因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1。當(dāng)a＝0時(shí)，P(0，－1)，Q(0,0)，這時(shí)直線l2為y軸，A(－2,0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1⊥l2。綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為1或0。
答案　(1)A　(2)1或0

1．討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)應(yīng)考慮直線的斜率是否存在。
2．“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要條件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)”，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2＋B1B2＝0”。
【變式訓(xùn)練】　(1)“a＝2”是“直線ax＋y－2＝0與直線2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
(2)已知傾斜角為α的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則cos的值為(　　)
A． B．－
C．2 D．－
解析　(1)由直線ax＋y－2＝0與直線2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，且4a＋4≠0，所以a＝2，所以a＝2是直線ax＋y－2＝0與直線2x＋(a－1)y＋4＝0平行的充要條件。
(2)直線x＋2y－3＝0的斜率為－，因?yàn)閮A斜角為α的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，所以tanα＝2，則cos＝cos＝cos＝sin2α＝＝＝。故選A。
答案　(1)A　(2)A
考點(diǎn)二 兩條直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題
【例2】　(1)經(jīng)過(guò)兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為_(kāi)_______________。
(2)(2019·廣州模擬)已知點(diǎn)P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是________。
(3)(2019·廈門模擬)若兩平行直線3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則c的值是________。
解析　(1)由方程組得即P(0，2)。因?yàn)閘⊥l3，所以直線l的斜率k＝－，所以直線l的方程為y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0。
(2)由題意得，點(diǎn)P到直線的距離為＝。又≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，所以a的取值范圍是[0,10]。
(3)依題意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直線6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0，又兩平行線之間的距離為，所以＝，解得c＝2或－6。
答案　(1)4x＋3y－6＝0　(2)[0,10]　(3)2或－6
【互動(dòng)探究】　若將本例(1)中的“垂直”改為“平行”，如何求解？
解　由方程組
得即P(0,2)。
因?yàn)閘∥l3，所以直線l的斜率k＝，
所以直線l的方程為y－2＝x，
即3x－4y＋8＝0。

解：因?yàn)橹本€l過(guò)直線l1和l2的交點(diǎn)，
所以可設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0。
因?yàn)閘與l3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝，
所以直線l的方程為3x－4y＋8＝0。


1．求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法
求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程。
2．利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等。
【變式訓(xùn)練】　(1)已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________。
(2)直線l過(guò)點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4，5)的距離相等，則直線l的方程為_(kāi)_______________。
解析　(1)如圖，已知直線y＝－x＋2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0)，B(0,2)。而直線方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過(guò)定點(diǎn)P(－2，1)，斜率為k的動(dòng)直線。因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))，所以動(dòng)直線的斜率k需滿足kPA

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