1.掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用一元二次方程解決與面積有關(guān)的實(shí)際問題.（重點(diǎn)）
問題 某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形土地上修建三條等寬的通道，使其中兩條與AB平行，另外一條與AD平行，其余部分種花草，要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道寬應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少？設(shè)通道寬為xm，則由題意列的方程為_____________________.
(30-2x)(20-x)=6×78
引例：要設(shè)計(jì)一本書的封面,封面長(zhǎng)27㎝,寬21cm正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？(精確到0.1cm)
分析:這本書的長(zhǎng)寬之比 ： 正中央的矩形長(zhǎng)寬之比 ： ，上下邊襯與左右邊襯之比 ： .
解：設(shè)中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為9a和7a由此得到上下邊襯寬度之比為：
解:設(shè)上下邊襯的9xcm，左右邊襯寬為7xcm依題意得
方程的哪個(gè)根合乎實(shí)際意義?為什么?
試一試：如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡(jiǎn)單地解決上面的問題？
解:設(shè)正中央的矩形兩邊別為9xcm，7xcm.依題意得
例1：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A向終點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q沿CB邊從點(diǎn)C向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng).問點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后可使△PCQ的面積為9 cm2？
根據(jù)題意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
解：若設(shè)出發(fā)x s后可使△PCQ的面積為9cm2
解得 x1= x2=3
答：點(diǎn)P，Q出發(fā)3s后可使△PCQ的面積為9cm2.
主要集中在幾何圖形的面積問題, 這類問題的面積公式是等量關(guān)系. 如果圖形不規(guī)則應(yīng)割或補(bǔ)成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式列出方程;
例2：如圖，在一塊寬為20m, 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540㎡,求道路的寬為多少？
解：設(shè)道路的寬為 x 米
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
當(dāng)x=50時(shí)，32-x=-18,不合題意，舍去.
在寬為20m, 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540㎡,求這種方案下的道路的寬為多少？
在寬為20m, 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種種方案下的道路的寬為多少？
(32-2x)(20-x)=540
(32-2x)(20-2x)=540
在寬為20m, 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑四條道路,余下的部分種上草坪，如果橫、縱小路的寬度比為3：2，且使小路所占面積是矩形面積的四分之一,求道路的寬為多少？
小路所占面積是矩形面積的四分之一
剩余面積是矩形面積的四分之三
解:設(shè)橫、豎小路的寬度分別為3x、 2x， 于是可列方程
(30-4x)(20-6x)= —×20×30
我們利用“圖形經(jīng)過移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置修路）.
視頻：平移求面積動(dòng)態(tài)展示
解：設(shè)AB長(zhǎng)是x m. (100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5，x2=20 x=20,100-4x=2025 x=5(舍去)答：羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)個(gè)是20m,20m.
例3：如圖：要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)個(gè)是多少米？
變式：如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80平方米？
解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)為x m，
由題意得 x(25-2x+1)=80
化簡(jiǎn)，得 x2-13x+40=0
解得 x1=5 , x2=8
當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=16>12 (舍去）
當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=10

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21.3 實(shí)際問題與一元二次方程

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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