1．能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型，并能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理．2．能夠列一元二次方程解有關(guān)特殊圖形的實際問題．
(60＋2x)(40＋2x)＝3 500．
假如有一幅畫長60 cm，寬40 cm，要給它四周裱上同樣寬度的木框，使它的總面積達(dá)到3 500 cm2，設(shè)木框?qū)挾葹閤 cm，你能列出等式嗎？
如圖，要設(shè)計一本書的封面，封面長為27 cm，寬為21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形．如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？
（1）根據(jù)題目的已知條件，可以推出中央的矩形的長寬之比也是27∶21＝9∶7，那你知道上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是多少嗎？請你推一推．
設(shè)中央的矩形的長和寬分別是9a cm和7a cm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是
（2）設(shè)上、下邊襯的寬均為9x cm，而不是設(shè)為x cm，這樣做有什么好處？
列出的方程為整數(shù)式，方便計算．
（3）解方程時課本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更簡便解法嗎？
（4）方程的哪個根符合實際意義？為什么？
上、下邊襯的寬度之和會超過封面的長度，不符合實際情況．
（5）如果設(shè)中央矩形的長為9x，根據(jù)課本上的等量關(guān)系，請你列方程求解，你的解法是什么？
設(shè)中央矩形的長為9x cm．則寬為7x cm．
（6）練習(xí)：要為一幅長29 cm，寬22 cm的照片配一個相框，要求相框的四條邊寬度相等，且相框所占面積為照片面積的四分之一，相框的寬度應(yīng)是多少厘米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？
答：相框的寬度約為1.5 cm．
解：設(shè)道路的寬為x m．可列方程
例1 如圖，在一塊寬為20 m，長為32 m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540 m2，則道路的寬為多少？
還有其他列方程的方法嗎？
整理，得x2－52x＋100＝0，
解得x1＝2，x2＝50．
當(dāng)x＝50時，32－x＝－18，不合題意，舍去．
答：道路的寬為2 m．
解：設(shè)道路的寬為x m．
可列方程(32－x)(20－x)＝540，
我們利用“圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）．
例2 如圖，要利用一面墻（墻足夠長）建羊圈，用58 m的圍欄圍成面積為200 m2的矩形羊圈，則羊圈的邊長AB和BC各是多少米？
解：設(shè)AB長是x m．
則(58－2x)x＝200，
即x2－29x＋100＝0．
解得x1＝25，x2＝4．
當(dāng)x＝25時，58－2x＝8；
當(dāng)x＝4時，58－2x＝50．
答：羊圈的邊長AB和BC各是25 m，8 m或4 m，50 m．
圍墻問題一般先設(shè)其中的一條邊為x，然后用x表示另一邊，最后根據(jù)面積或周長公式列方程求解．需要注意聯(lián)系實際問題選擇合適的解．
1．在一幅長80 cm，寬50 cm的長方形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅長方形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5 400 cm2，設(shè)金色紙邊的寬為x cm，那么x滿足的方程是（　?。〢．x2＋130x－1 400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1 400＝0D．x2－65x－350＝0
2．一塊矩形鐵板，長是寬的2倍，如果在4個角上截去邊長為5 cm的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個沒有蓋的盒子，盒子的容積是3 000 cm3，求鐵板的長和寬．
解：設(shè)鐵板的寬為x cm，則長為2x cm．
列方程，得5(2x－10)(x－10)＝3 000，整理，得x2－15x－250＝0．解得x1＝25，x2＝－10（舍去），∴2x＝50．
答：鐵板的長為50 cm，寬為25 cm．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm．點P沿AC邊從點A向終點C以1 cm/s的速度移動；同時點Q沿CB邊從點C向終點B以2 cm/s的速度移動，且當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止移動．問點P，Q出發(fā)幾秒后可使△PCQ的面積為9 cm2？
根據(jù)題意得AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm．
解：設(shè)點P，Q出發(fā)x s后△PCQ的面積為9 cm2．
解得x1＝x2＝3．經(jīng)檢驗，符合題意．
答：點P，Q出發(fā)3 s后可使△PCQ的面積為9 cm2．

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21.3 實際問題與一元二次方程

版本： 人教版

年級： 九年級上冊

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