第10講


講




















一次函數(shù)的圖像














通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能夠：


能夠熟練地運用列表、描點、連線畫出一次函數(shù)的圖像.


掌握一次函數(shù)的圖像的特點及性質(zhì).























概 述














概 述














【知識導(dǎo)圖】














教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








一天，小明以80米/分的速度去上學(xué)，請問小明離家的距離S（米）與小明出發(fā)的時間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的？它是一次函數(shù)嗎？它是正比例函數(shù)嗎？ S=80t（t≥0）


下面的圖象能表示上面問題中的S與t的關(guān)系嗎？


O


t（分）


S（米）


80


1








二、知識講解








考點1 正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)








我們說，上面的圖象是函數(shù)S=80t（t≥0）的圖象,這就是我們今天要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：一次函數(shù)的圖象的特殊情況正比例函數(shù)的圖象。


目的：通過學(xué)生比較熟悉的生活情景，讓學(xué)生在寫函數(shù)關(guān)系式和認(rèn)識圖象的過程中，初步感受函數(shù)與圖象的聯(lián)系，激發(fā)其學(xué)習(xí)的欲望．


效果：學(xué)生通過對上述情景的分析，初步感受到函數(shù)與圖象的聯(lián)系，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望．


畫正比例函數(shù)的圖象


內(nèi)容：首先我們來學(xué)習(xí)什么是函數(shù)的圖象？


把一個函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的因變量y的值分別作為點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象（graph）．


例1 請作出正比例函數(shù)y=2x的圖象．


解：列表:


描點：以表中各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點．


連線：把這些點依次連結(jié)起來，得到y(tǒng)=2x的圖象．


由例1我們發(fā)現(xiàn)：作一個函數(shù)的圖象需要三個步驟：


列表，描點，連線．


目的：通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明確作一個函數(shù)圖象的一般步驟，能做出一個函數(shù)的圖象，同時感悟正比例函數(shù)圖象是一條直線．


效果：學(xué)生通過學(xué)習(xí)，掌握了作一個函數(shù)圖象的一般方法，能作出一個函數(shù)的圖


象，同時感悟到正比例函數(shù)圖象是一條直線．


動手操作，深化探索


內(nèi)容：做一做


（1）作出正比例函數(shù)y=-3x的圖象．


（2）在所作的圖象上取幾個點，找出它們的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，并驗證它們是否都滿足關(guān)系y=-3x．


請同學(xué)們以小組為單位，討論下面的問題，把得出的結(jié)論寫出來．


（1）滿足關(guān)系式y(tǒng)=-3x的x，y所對應(yīng)的點（x，y）都在正比例函數(shù)y=-3x的圖象上嗎？


（2）正比例函數(shù)y=-3x的圖象上的點（x，y）都滿足關(guān)系式y(tǒng)=-3x嗎？


（3）正比例函數(shù)y=kx的圖象有什么特點？


由上面的討論我們知道：正比例函數(shù)的代數(shù)表達式與圖象是一一對應(yīng)的，即滿足正比例函數(shù)的代數(shù)表達式的x，y所對應(yīng)的點（x，y）都在正比例函數(shù)的圖象上；正比例函數(shù)的圖象上的點（x，y）都滿足正比例函數(shù)的代數(shù)表達式．正比例函數(shù)y=kx的圖象是一條直線，以后可以稱正比例函數(shù)y=kx的圖象為直線y=kx．


議一議


既然我們得出正比例函數(shù)y=kx的圖象是一條直線．那么在畫正比例函數(shù)圖象時有沒有什么簡單的方法呢？


因為“兩點確定一條直線 ”，所以畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時可以只描出兩個點就可以了．因為正比例函數(shù)的圖象是一條過原點(0,0)的直線,所以只需再確定一個點就可以了,通常過(0,0),(1,k)作直線.


例2 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y=x,y=3x,y=,y=-4x的圖象．


解：列表


過點（0，0）和（1，1）作直線，則這條直線就是y=x的圖象．


過點（0，0）和（1，3）作直線，則這條直線就是y=3x的圖象．


過點（0，0）和（1，）作直線，則這條直線就是y=x的圖象．


過點（0，0）和（1，-4）作直線，則這條直線就是y=-4x的圖象．


目的：做一做“作出這幾個正比例函數(shù)的圖象”，意在讓學(xué)生進一步熟悉如何作一個正比例函數(shù)的圖象，同時要求學(xué)生通過這幾個函數(shù)的圖象，分析正比例函數(shù)圖象的性質(zhì),以及k的絕對值大小與直線傾斜程度的關(guān)系.


效果：學(xué)生通過作出正比例函數(shù)的圖象，明確了作函數(shù)圖象的一般方法．在探究函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系中加深了理解，并能很快地作出正比例函數(shù)的圖象．


議一議


上述四個函數(shù)中,隨著x的增大,y的值分別如何變化?


在正比例函數(shù)y=kx中,


當(dāng)k＞0時,圖象在第一、三象限，y的值隨著x值的增大而增大(即從左向右觀察圖象時,直線是向上傾斜的);當(dāng)k＜0時, 圖象在第二、四象限， y的值隨著x值的增大而減小 (即從左向右觀察圖象時,直線是向下傾斜的).


請你進一步思考:


（1）正比例函數(shù)y=x和y=3x中，隨著x值的增大y的值都增加了，其中哪一個增加得更快？你能說明其中的道理嗎？


（2）正比例函數(shù)y=x和y=-4x中，隨著x值的增大y的值都減小了，其中哪一個減小得更快？你是如何判斷的？


我們發(fā)現(xiàn)：越大，直線越靠近y軸。


考點2 一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)


考點1 生活中的立體圖形








探究一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象與性質(zhì)


1、作出 ①y=-x+3 ②y= 2x-2 ③y=-3x+1的圖象（先小組討論畫圖象的方法及技巧，并說明理由；然后再畫圖象）


（1）一次函數(shù)圖象的形狀是________?


三個函數(shù)的圖象隨x值的增大上升還是下降？與k有關(guān)系嗎？若有，是什么關(guān)系？


（2）根據(jù)圖象分別寫出三條直線與y軸的交點坐標(biāo) 、 、


三個點的縱坐標(biāo)與b有什么關(guān)系？從函數(shù)的圖象上能否直接讀出y=kx+b(k≠0)中b的值？


一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象與y軸交點的坐標(biāo)_________？


2、小組合作歸納：


（1）一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象的畫法？（2）一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的性質(zhì)？


3、交流梳理總結(jié)：


（1）一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象的畫法？


一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象與y軸交點坐標(biāo)是


（2）一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的性質(zhì)


k 時 函數(shù)圖象經(jīng)過點 ，y 隨x的增大而 ；


k 時 函數(shù)圖象經(jīng)過點 ， y 隨x的增大而 。


4、鞏固練習(xí)：


(1)作出函數(shù)y=-x+1的圖象，并回答：圖象是一條______，由左至右呈_________(“上升”或“下降”)趨勢，y隨x的增大而________，與y軸的交點坐標(biāo)(__,__)。


(2)已知直線y=2x+b過點A( 1 , y1 )和B( 2 , y2)，則 y1 ____ y2


(3)已知直線y=2x+b與直線y=-x+5相交于y軸上的同一點，則b=___.


探究正比例函數(shù)y=kx(k≠0)與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象的關(guān)系


1、觀察以上作出的函數(shù)y=-x與函數(shù)y= -x+3的圖象，并回答：


（1）直線y=-x與直線y= -x+3有怎樣的位置關(guān)系？你能通過適當(dāng)?shù)囊苿訉⒅本€y= -x變?yōu)橹本€y= -x+3嗎？你能通過適當(dāng)?shù)囊苿拥玫街本€y= -x-3嗎？


（2）直線y=-x+3可以看做有直線y= -x向_____平移____個單位得到的；


直線y= -x-3可以看做有直線y= -x向_____平移____個單位得到的。


2、小組討論：


（1）直線y=kx(k≠0)與直線y=kx+b(k≠0)的位置關(guān)系；


（2）直線y=kx(k≠0)與直線y=kx+b(k≠0)有怎樣的平移規(guī)律？


3、交流梳理總結(jié)


（1）直線y=kx(k≠0)與直線y=kx+b(k≠0)：平行；


（2）直線y=kx(k≠0)與直線y=kx+b(k≠0)有怎樣的平移規(guī)律：


b＞0時，直線y=kx+b(k≠0)可以看做是直線y=kx(k≠0)向____平移____單位而得到的；


b＜0時，直線y=kx+b(k≠0)可以看做是直線y=kx(k≠0)向____平移____單位而得到的。


4、鞏固練習(xí)


(1)直線y=2x+3可以看做是直線y=2x向____平移____單位而得到的；


(2)下列直線中，與y軸交點坐標(biāo)相同的兩條直線是_______；互相平行的兩條直線是______；函數(shù)的值隨x的增大而減小的有________。


①y=6x-2 ②y=-6x-2 ③y=-6x+2


探究一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象在直角坐標(biāo)系中的位置


1、作出函數(shù)y=-x、 y= -x+3 、y= -x-3的圖象，并回答：


直線y=-x經(jīng)過第_____________象限；


直線y= -x+3經(jīng)過第_____________象限 ；


直線y=-x-3經(jīng)過第_____________象限。


作出函數(shù)y=2x、 y= 2x-2、y= 2x+2的圖象，并回答：


直線y=2x經(jīng)過第_____________象限；


直線y=2x-2經(jīng)過第_____________象限 ；


直線y=2x+2經(jīng)過第_____________象限。


2、小組討論：直線y=kx+b(k≠0)所經(jīng)過的象限與k、b取值有怎樣的關(guān)系？


3、交流梳理總結(jié)：


直線y=kx+b(k≠0)所經(jīng)過的象限與k、b取值的關(guān)系：


K＞0，b＞0時，直線y=kx+b(k≠0) 經(jīng)過第___________象限;


K＞0，b＜0時，直線y=kx+b(k≠0) 經(jīng)過第___________象限;


K＜0，b＞0時，直線y=kx+b(k≠0) 經(jīng)過第___________象限;


K＜0，b＜0時，直線y=kx+b(k≠0) 經(jīng)過第___________象限.


（問：能否用平移的方法解釋這個問題？）


4、鞏固練習(xí)


（1）函數(shù)y=3x-1的圖象，y隨x的增大而_____，它的圖象可由直線y=3x向____平移______個單位得到,經(jīng)過第_____________象限。


（2）函數(shù)y=-5x+3的圖象，y隨x的增大而_____，它的圖象可由直線y=-5x向____平移______個單位得到,經(jīng)過第_____________象限。


（3）已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則k、b取值范圍是（ ）


A、K＞0，b＞0 ， B、K＞0，b＜0 C、K＜0，b＞0， D、K＜0，b＜0





三 、例題精析








類型一 正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)


1.下列各點在函數(shù)的圖象上的是（ ）


A．（1，） B.（-1，） C.（3，） D.（，3）


【解析】








【總結(jié)與反思】








2.正比例函數(shù)的圖象是過點（0，______）與點（1，_____）的一條直線，當(dāng)時，圖象經(jīng)過第___________象限；當(dāng)時，圖象經(jīng)過第___________象限.


【解析】








【總結(jié)與反思】








3. 已知函數(shù)的函數(shù)值隨值的增大而增大，則函數(shù)的圖象經(jīng)過（ ）


A．第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限


【解析】








【總結(jié)與反思】











類型二 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)


例題1例題1





1.一次函數(shù)的圖象是一條經(jīng)過點_____________、____________的直線，一次函數(shù)的圖象也稱為直線


【解析】








【總結(jié)與反思】








2.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（ ）


A．第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限


【解析】








【總結(jié)與反思】








3.下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是（ ）


A. B. C. D.


【解析】








【總結(jié)與反思】




















四 、課堂運用











基礎(chǔ)











1.已知點A（2,3）在函數(shù)的圖象上，則等于（ ）


A.-1 B.1 C.2 D.-2











2.當(dāng)時，正比例函數(shù)的圖象大致是（ ）





A B C D











3.一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）


A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限











4.已知點（-4， ），（2，）都在直線上，則，的大小關(guān)系是（ ）


A. B. C. D.無法比較

















鞏固








1.下列四個點中，在正比例函數(shù)的圖象上的點事（ ）


A．（2,5） B.（5,2） C.（2，-5） D.（5,-2）











2.已知正比例函數(shù) ，當(dāng)x=-1時，y=-2，則它的圖象大致是圖中的（ ）


、


A B C D














3.已知和是直線上的兩點，且，則與的大小關(guān)系


是（ ）


A. B. C. D.無法比較











4.下列函數(shù)中，其圖象同時滿足兩個條件：①y隨x的增大而增大；②與x軸的正半軸相交.則它的表達式為（ ）


A. B. C. D.

















拔高








1.正比例函數(shù)①；②；③的圖象如圖，則，，的大小關(guān)系是（ ）


A. B. C. D.











2.已知函數(shù)，若y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（ ）


A. B. C. D.











3.將直線向上平移一個單位后得到的直線對應(yīng)的函數(shù)表達式是__________.











4. 若一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，且圖象與y軸的負(fù)半軸相交，那么對k和b的符號判斷正確的是（ ）


A. B. C. D.

















五 、課堂小結(jié)


























六 、課后作業(yè)














基礎(chǔ)








1.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）


A．圖象經(jīng)過第一、三象限


B．y隨x的增大而增大


C．若，是該函數(shù)圖象上的兩點，則當(dāng)時，


D．不論x為何值，總有





2.已知函數(shù)是正比例函數(shù).


（1）若函數(shù)關(guān)系式中y隨x的增大而減小，求m的值；


（2）若函數(shù)的圖象過第一、三象限，求m的值.








3.如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則m的取值范圍（ ）





A． B. C. D.





鞏固








1.一次函數(shù)的圖象與y軸交點坐標(biāo)是（ ）


A.(0，4) B.（4,0） C.（2，0） D.（0,2）














2.已知直線，其中m，n是常數(shù)且滿足：，，那么該直線經(jīng)過（ ）


A.第二、三、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限














3.把函數(shù)的圖象向下平移4個單位后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式為（ ）


A． B. C. D.











拔高








已知一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，求m，n的取值范圍.























2.已知一次函數(shù).


（1）當(dāng)為何值時，y隨x的增大而減??？


（2）當(dāng)，為何值時，函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸上方？


（3）當(dāng)，為何值時，函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限？


（4）當(dāng)，為何值時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點？


（5）當(dāng)，為何值時，該函數(shù)的圖象與直線平行？











適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初二
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)


一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)
教學(xué)目標(biāo)
1．了解一次函數(shù)的圖象是一條直線， 能熟練作出一次函數(shù)的圖象．


2．經(jīng)歷函數(shù)圖象的作圖過程，初步了解作函數(shù)圖象的一般步驟：列表、描點、連線．


3．已知函數(shù)的代數(shù)表達式作函數(shù)的圖象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識和能力．


4．理解一次函數(shù)的代數(shù)表達式與圖象之間的一一對應(yīng)關(guān)系．
教學(xué)重點
初步了解作函數(shù)圖象的一般步驟：列表、描點、連線．
注重教學(xué)難點
理解一次函數(shù)的代數(shù)表達式與圖象之間的一一對應(yīng)關(guān)系．
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x
…
-4
-2
0
2
4
…
x
0
1
y=x
0
1
y=3x
0
3
y=
0
y=4x
0
-4

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3 一次函數(shù)的圖象

版本： 北師大版

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