第3講


講




















勾股定理的應(yīng)用














通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能夠：


利用勾股定理解決實(shí)際生活中的一些問題.


掌握幾何體的表面展開圖，會判斷最短路徑.


























概 述

















【知識導(dǎo)圖】











教學(xué)過程











一、導(dǎo)入








如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？





二、知識講解








考點(diǎn)1 生活中的立體圖形





考點(diǎn)1 圓柱體表面上兩點(diǎn)間的最短距離








A B








C D


C





第一環(huán)節(jié)：情境引入


情景1：


提出問題：從A到D怎樣走最近？


情景2：


如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，你們想一想，螞蟻怎么走最近？


意圖：


通過情景1復(fù)習(xí)公理：兩點(diǎn)之間線段最短；情景２的創(chuàng)設(shè)引入新課，激發(fā)學(xué)生探究熱情．


效果：


從學(xué)生熟悉的生活場景引入，提出問題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎(chǔ)．


第二環(huán)節(jié)：合作探究


內(nèi)容：


學(xué)生分為４人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法，通過具體計(jì)算，總結(jié)出最短路線．讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點(diǎn)連線最短問題，引導(dǎo)學(xué)生體會利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的方法．


意圖：


通過學(xué)生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解．在活動中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建摸，培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流的能力，增強(qiáng)學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念．


效果：


學(xué)生可能匯總以下四種方案：





A’


A’





A’














（1） （2） （3） （4）


學(xué)生很容易算出：情形（1）中A→B的路線長為：，


情形（2）中A→B的路線長為：


所以情形（1）的路線比情形（2）要短．


學(xué)生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學(xué)生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，情形（3）A→B是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷（4）較短，最后通過計(jì)算比較（1）和（4）即可．


如圖：


（1）中A→B的路線長為：．


（2）中A→B的路線長為：>AB．


（3）中A→B的路線長為：AO+OB>AB．


（4）中A→B的路線長為：AB．


得出結(jié)論：利用展開圖中兩點(diǎn)之間，線段最短解決問題．在這個環(huán)節(jié)中，可讓學(xué)生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．接下來后提問：怎樣計(jì)算AB？


在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則．


注意事項(xiàng)：本環(huán)節(jié)的探究把圓柱側(cè)面尋最短路徑拓展到了圓柱表面，目的僅僅是讓學(xué)生感知最短路徑的不同存在可能．但這一拓展使學(xué)生無法去論證最短路徑究竟是哪條．因此教學(xué)時因該在學(xué)生在圓柱表面感知后，把探究集中到對圓柱側(cè)面最短路徑的探究上．


方法提煉：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下：


1．審題——分析實(shí)際問題；


2．建?！⑾鄳?yīng)的數(shù)學(xué)模型；


3．求解——運(yùn)用勾股定理計(jì)算；


4．檢驗(yàn)——是否符合實(shí)際問題的真實(shí)性．


考點(diǎn)2 勾股定理的其他應(yīng)用














三 、例題精析





李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，


（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？


（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？


（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？


解答：（2）








∴AD和AB垂直．


意圖：


運(yùn)用勾股定理逆定理來解決實(shí)際問題，讓學(xué)生學(xué)會分析問題，利用允許的工具靈活處理問題．


效果：


先鼓勵學(xué)生自己尋找辦法，再讓學(xué)生說明李叔叔的辦法的合理性．當(dāng)刻度尺較短時，學(xué)生可能會在上面解決問題的基礎(chǔ)上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的長度，或在AB，AD邊上各量一段較小長度，再去量以它們?yōu)檫叺娜切蔚牡谌?，從而得到結(jié)論．





三 、例題精析

















類型一圓柱體表面上兩點(diǎn)間的最短距離


1.有一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為4cm．在AA1上有一只螞蟻Q，QA=3cm；在BB1上有一滴蜂蜜P，PB1=2cm．若螞蟻想要沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蜂蜜，則爬行的最短路徑長為________（π取整數(shù)3）





【解析】








【總結(jié)與反思】











2.如圖所示，有一根高為2m的木柱，它的底面周長為0.3m，為了營造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂均勻地纏繞圈，一直纏到起點(diǎn)的正上方為止．問：小明至少需要準(zhǔn)備一根多長的彩帶？

















【解析】








【總結(jié)與反思】














類型二勾股定理的其他應(yīng)用


1.如圖，居民樓與馬路是平行的，在一樓的點(diǎn)A處測得它到馬路的距離為9m，已知在距離載重汽車41m處就可受到噪聲影響．





（1）試求在馬路上以4m/s速度行駛的載重汽車，能給一樓A處的居民帶來多長時間的噪音影響？


（2）若時間超過25秒，則此路禁止該車通行，你認(rèn)為載重汽車可以在這條路上通行嗎？


【解析】








【總結(jié)與反思】














基礎(chǔ)











1. 如圖，一根藤蔓一晚上生長的長度是沿樹干爬一圈后由點(diǎn)A上升到點(diǎn)B，已知AB=5cm，樹干的直徑為4cm．計(jì)算出藤蔓一晚上生長的最短長度是（ ）（π取整數(shù)3）
































2.如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm．若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長為（ ）cm．











3.如圖，甲輪船以16海里／時的速度離開港口O，向東南方向航行，乙輪船在同時同地，向西南方向航行．已知：它們離開港口O一個半小時后，相距30海里，求：乙輪船每小時航行多少海里?


























鞏固








1.有一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為4cm．在AA1上有一只螞蟻Q，QA=3cm；在BB1上有一滴蜂蜜P，PB1=2cm．若螞蟻想要沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蜂蜜，則爬行的最短路徑長為________（π取整數(shù)3）

















2.如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，BC=5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是_______．

















3.如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險?























拔高








1.如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為 cm．（容器的厚度忽略不計(jì)）

















2.圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為________cm.




















3．如圖，臺風(fēng)中心位于點(diǎn)O處，并沿東北方向（北偏東45°），以40千米/小時的速度勻速移動，在距離臺風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會受到臺風(fēng)的影響，在點(diǎn)O的正東方向，距離602千米的地方有一城市A．





（1）問：A市是否會受到此臺風(fēng)的影響，為什么？


（2）在點(diǎn)O的北偏東15°方向，距離80千米的地方還有一城市B，問：B市是否會受到此臺風(fēng)的影響？若受到影響，請求出受到影響的時間；若不受到影響，請說明理由．





























五 、課堂小結(jié)






































六 、課后作業(yè)











基礎(chǔ)





1.如圖，一圓柱高8 cm，底面半徑為6πcm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是（ ）





A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm











2.如圖，一只螞蟻從長、寬都是3cm，高是8cm的長方體紙盒的A點(diǎn)沿紙盒面爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長是（ ）


A


B








A、（3+8）cm B、10cm C、14cm D、無法確定





























3. 11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”的問題


小溪邊長著兩棵棕櫚樹，恰好隔岸相望．一棵樹高是30肘尺（肘尺是古代的長度單位），另外一棵高20肘尺；兩棵棕櫚樹的樹干間的距離是50肘尺．每棵樹的樹頂上都停著一只鳥．忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到達(dá)目標(biāo)．問這條魚出現(xiàn)的地方離開比較高的棕櫚樹的樹根有多遠(yuǎn)？（請畫出示意圖解答）




















鞏固








1.如圖圓柱形玻璃杯高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁A，離杯口上沿4cm與蜜蜂相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_______________cm。














2.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm．A和B是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為 dm．











3.如圖，小華將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為 ．























拔高








如圖，A.B兩個村子在河CD的同側(cè)，A.B兩村到河的距離分別為AC＝1km，BD＝3km，且CD＝3km，現(xiàn)要在河邊上建一個水廠向A.B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為20000元／km，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最低，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用．
































2.中日釣魚島爭端持續(xù)，我海監(jiān)船加大釣魚島海域的巡航維權(quán)力度．如圖，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，釣魚島位于O點(diǎn)，我國海監(jiān)船在點(diǎn)B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自A點(diǎn)出發(fā)沿著AO方向勻速駛向釣魚島所在地點(diǎn)O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點(diǎn)C處截住了漁船．





（1）請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；


（2）求我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長．




















適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初二
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點(diǎn)
1.圓柱或長方體表面上兩點(diǎn)間的最短距離;


2.勾股定理的其他應(yīng)用（方程思想的運(yùn)用）.
教學(xué)目標(biāo)
1.通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念．


2.在將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想．


3.在利用勾股定理解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性．
教學(xué)重點(diǎn)
利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問題是本節(jié)課的重點(diǎn)．
教學(xué)難點(diǎn)
利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問題是本節(jié)課的難點(diǎn)．

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3 勾股定理的應(yīng)用

版本： 北師大版

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