●教學(xué)目標(biāo)


（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)


1.解分式方程的一般步驟.


2.了解解分式方程驗(yàn)根的必要性.


（二）能力訓(xùn)練要求


1.通過(guò)具體例子，讓學(xué)生獨(dú)立探索方程的解法，經(jīng)歷和體會(huì)解分式方程的必要步驟.


2.使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)思想中的“轉(zhuǎn)化”思想，認(rèn)識(shí)到能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而找到解分式方程的途徑.


（三）情感與價(jià)值觀要求


1.培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)反思求解過(guò)程和自覺(jué)檢驗(yàn)的良好習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度.


2.運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的思想，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而獲得一種成就感和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信.


●教學(xué)重點(diǎn)


1.解分式方程的一般步驟，熟練掌握分式方程的解決.


2.明確解分式方程驗(yàn)根的必要性.


●教學(xué)難點(diǎn) 明確分式方程驗(yàn)根的必要性.


●教學(xué)方法 探索發(fā)現(xiàn)法


學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，探索分式方程是如何轉(zhuǎn)化為整式方程，并發(fā)現(xiàn)解分式方程驗(yàn)根的必要性.


●教學(xué)過(guò)程


Ⅰ.提出問(wèn)題，引入新課


［師］在上節(jié)課的幾個(gè)問(wèn)題，我們根據(jù)題意將具體實(shí)際的情境，轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)模型——分式方程.但要使問(wèn)題得到真正的解決，則必須設(shè)法解出所列的分式方程.


這節(jié)課，我們就來(lái)學(xué)習(xí)分式方程的解法.我們不妨先來(lái)回憶一下我們?cè)鴮W(xué)過(guò)的一元一次方程的解法，也許你會(huì)從中得到啟示，尋找到解分式方程的方法.


解方程+=2－


［師生共解］（1）去分母，方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)6，得


3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）.


（2）去括號(hào)，得9x－3+10x+4=12－4x+2,


（3）移項(xiàng)，得9x+10x+4x=12+2+3－4,


（4）合并同類(lèi)項(xiàng)，得23x=13,


（5）使x的系數(shù)化為1，兩邊同除以23，x=.


Ⅱ.講解新課，探索分式方程的解法


［師］剛才我們一同回憶了一元一次方程的解法步驟.下面我們來(lái)看一個(gè)分式方程.


［例1］解方程：=.（1）


［生］解這個(gè)方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一樣去分母呢？


［師］同學(xué)們說(shuō)他的想法可取嗎？


［生］可取.


［師］同學(xué)們可以接著討論，方程兩邊同乘以什么樣的整式（或數(shù)），可以去掉分母呢？


［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.


［生］解一元一次方程，去分母時(shí)，方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)，比較簡(jiǎn)單.解分式方程時(shí)，我認(rèn)為方程兩邊同乘以分母的最簡(jiǎn)公分母，去分母也比較簡(jiǎn)單.


［師］我覺(jué)得這兩位同學(xué)的想法都非常好.那么這個(gè)分式方程的最簡(jiǎn)公分母是什么呢？


［生］x（x－2）.


［師生共析］方程兩邊同乘以x（x－2）,得x（x－2）·=x（x－2）·,


化簡(jiǎn)，得x=3（x－2）.（2）


我們可以發(fā)現(xiàn)，采用去分母的方法把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，而且是我們?cè)鴮W(xué)過(guò)的一元一次方程.


［生］再往下解，我們就可以像解一元一次方程一樣，解出x.即x=3x－6（去括號(hào)）


2x=6（移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)）.


x=3（x的系數(shù)化為1）.


［師］x=3是方程（2）的解嗎？是方程（1）的解嗎？為什么？同學(xué)們可以在小組內(nèi)討論.


（教師可參與到學(xué)生的討論中，傾聽(tīng)學(xué)生的說(shuō)法）


［生］x=3是由一元一次方程x=3（x－2） （2）解出來(lái)的，x=3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要檢驗(yàn).把x=3代入方程（1）的左邊==1，右邊==1，左邊=右邊，所以x=3是方程（1）的解.


［師］同學(xué)們表現(xiàn)得都很棒！相信同學(xué)們也能用同樣的方法解出例2.


［例2］解方程：－=4


（由學(xué)生在練習(xí)本上試著完成，然后再共同解答）


解：方程兩邊同乘以2x，得


600－480=8x


解這個(gè)方程，得x=15


檢驗(yàn)：將x=15代入原方程，得


左邊=4，右邊=4，左邊=右邊,所以x=15是原方程的根.


［師］很好！同學(xué)們現(xiàn)在不僅解出了分式方程的解，還有了檢驗(yàn)結(jié)果的好習(xí)慣.


我這里還有一個(gè)題，我們?cè)賮?lái)一起解決一下（先隱藏小亮的解法）


議一議


解方程=－2.


（可讓學(xué)生在練習(xí)本上完成，發(fā)現(xiàn)有和小亮同樣解法的同學(xué)，可用實(shí)物投影儀顯示他的解法，并一塊分析）


［師］我們來(lái)看小亮同學(xué)的解法：=－2


解：方程兩邊同乘以x－3,得2－x=－1－2（x－3）


解這個(gè)方程，得x=3.


［生］小亮解完沒(méi)檢驗(yàn)x=3是不是原方程的解.


［師］檢驗(yàn)的結(jié)果如何呢？


［生］把x=3代入原方程中，使方程的分母x－3和3－x都為零，即x=3時(shí)，方程中的分式無(wú)意義，因此x=3不是原方程的根.


［師］它是去分母后得到的整式方程的根嗎？


［生］x=3是去分母后的整式方程的根.


［師］為什么x=3是整式方程的根，它使得最簡(jiǎn)公分母為零，而不是原分式方程的根呢？同學(xué)們可在小組內(nèi)討論.


（教師可參與到學(xué)生的討論中，傾聽(tīng)同學(xué)們的想法）


［生］在解分式方程時(shí)，我們?cè)诜质椒匠虄蛇叾汲艘宰詈?jiǎn)公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最簡(jiǎn)公分母的值為零，那么它就相當(dāng)于分式方程兩邊都乘以零，不符合等式變形時(shí)的兩個(gè)基本性質(zhì)，得到的整式方程的解必將使分式方程中有的分式分母為零，也就不適合原方程了.


［師］很好！分析得很透徹，我們把這樣的不適合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.


在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生增根.那么，是不是就不要這樣解？或采用什么方法補(bǔ)救？


［生］還是要把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程來(lái)解.解出整式方程的解后可用檢驗(yàn)的方法看是不是原方程的解.


［師］怎樣檢驗(yàn)較簡(jiǎn)單呢？還需要將整式方程的根分別代入原方程的左、右兩邊嗎？


［生］不用，產(chǎn)生增根的原因是這個(gè)根使去分母時(shí)的最簡(jiǎn)公分母為零造成的.因此最簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)方法是：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母.若使最簡(jiǎn)公分母為零，則是原方程的增根；若使最簡(jiǎn)公分母不為零，則是原方程的根.是增根，必舍去.


［師］在解一元一次方程時(shí)每一步的變形都符合等式的性質(zhì)，解出的根都應(yīng)是原方程的根.但在解分式方程時(shí)，解出的整式方程的根一定要代入最簡(jiǎn)公分母檢驗(yàn).小亮就犯了沒(méi)有檢驗(yàn)的錯(cuò)誤.


Ⅲ.應(yīng)用，升華


1.解方程：


（1）=;（2）+=2.


［分析］先總結(jié)解分式方程的幾個(gè)步驟，然后解題.


解：（1）=


去分母，方程兩邊同乘以x（x－1），得


3x=4（x－1）


解這個(gè)方程，得x=4


檢驗(yàn)：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，


所以原方程的根為x=4.


（2）+=2


去分母，方程兩邊同乘以（2x－1），得


10－5=2（2x－1）


解這個(gè)方程，得x=


檢驗(yàn)：把x=代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.


所以原方程的根為x=.


2.回顧，總結(jié)





想一想


解分式方程一般需要經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)步驟？


［師］同學(xué)們可根據(jù)例題和練習(xí)題的步驟，討論總結(jié).


［生］解分式方程分三大步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化分式方程為整式方程；


（2）解這個(gè)整式方程；


（3）把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是否為零，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根，應(yīng)舍去.使最簡(jiǎn)公分母不為零的根才是原方程的根.


3.補(bǔ)充練習(xí)


解分式方程：


（1）=;


（2）=（a,h常數(shù)）


［分析］強(qiáng)調(diào)解分式方程的三個(gè)步驟：一去分母；二解整式方程；三驗(yàn)根.


解：（1）去分母，方程兩邊同時(shí)乘以x（x+3000）,得9000（x+3000）=15000x


解這個(gè)整式方程，得x=4500


檢驗(yàn)：把x=4500代入x（x+3000）≠0.


所以原方程的根為4500


（2）=（a,h是常數(shù)且都大于零）


去分母，方程兩邊同乘以2x（a－x），得


h（a－x）=2ax


解整式方程，得x=（2a+h≠0）


檢驗(yàn)：把x=代入原方程中，最簡(jiǎn)公分母2x（a－x）≠0，所以原方程的根為


x=.


Ⅳ.課時(shí)小結(jié)


［師］同學(xué)們這節(jié)課的表現(xiàn)很活躍，一定收獲不小.


［生］我們學(xué)會(huì)了解分式方程，明白了解分式方程的三個(gè)步驟缺一不可.


［生］我明白了分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程為什么會(huì)產(chǎn)生增根.


［生］我又一次體驗(yàn)到了“轉(zhuǎn)化”在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要作用，但又進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到每一步轉(zhuǎn)化并不一定都那么“完美”，必須經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，反思“轉(zhuǎn)化”過(guò)程.


……


Ⅴ.課后作業(yè)


習(xí)題3.7


Ⅵ.活動(dòng)與探究


若關(guān)于x的方程=有增根，則m的值是____________.


［過(guò)程］首先增根是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)整式方程的根，但卻使最簡(jiǎn)公分母為零.


［結(jié)果］關(guān)于x的方程=有增根，則此增根必使3x－9=3（x－3）=0，所以增根為x=3.去分母，方程兩邊同乘以3（x－3），得3（x－1）=m2.


根據(jù)題意，得x=3是上面整式方程的根，


所以3（3－1）=m2,則m=±.


●板書(shū)設(shè)計(jì)


5.4.2 分式方程（二）


一、提出問(wèn)題


你能設(shè)法求出上一節(jié)課的分式方程


=.


二、探求分式方程解法


［例1］解方程=


［例2］解方程－=4


三、議一議


小亮的解法對(duì)嗎？


四、想一想


解分式方程一般步驟


1.去分母


2.解整式方程


3.檢驗(yàn)


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